Extrema in Abhängigkeit von t < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Sypher |
| Aufgabe | [mm] f_{t}(x) [/mm] = - x + [mm] \pi [/mm] + [mm] t\*sin(x) [/mm] mit x [mm] \in [/mm] [-1 ; 7].
[mm] f_{t}'(x) [/mm] = -1 + [mm] t\*cos [/mm] (x)
Für welche Werte von t nimmt [mm] f_{t} [/mm] in [mm] ]0;\pi[ [/mm] ein relatives Maximum an, für welche ein relatives Minimum?
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Hallo,
ich weiß nicht wie ich das genau machen soll.
Wenn ich [mm] f_{t}'(x) [/mm] = 0 setze komm ich auch auf kein Ideen.
Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich das machen soll?
Danke
Grüße
Sypher
PS: Wie kann man eigentlich die Ableitung von [mm] f_{t} [/mm] schreiben, in den Symbolen gibts nämlich kein " ' " für die Ableitung, oder doch?
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> [mm]f_{t}(x)[/mm] = - x + [mm]\pi[/mm] + [mm]t\*sin(x)[/mm] mit x [mm]\in[/mm] [-1 ; 7].
>
> [mm]f_{t}'(x)[/mm] = -1 + [mm]t\*cos[/mm] (x)
>
> Für welche Werte von t nimmt [mm]f_{t}[/mm] in ]0;/pi[ ein relatives
> Maximum an, für welche ein relatives Minimum?
>
> Hallo,
>
> ich weiß nicht wie ich das genau machen soll.
>
> Wenn ich [mm]f_{t}'(x)[/mm] = 0 setze komm ich auch auf kein Ideen.
Hallo,
da solltest Du schon auf Ideen kommen! Ein paar Anregungen:
[mm] f_{t}'(x)[/mm] [/mm] = 0
<==>
0= -1 + [mm]t\*cos[/mm] (x)
<==> [mm] 1=t\*cos(x)
[/mm]
Kann man das für t=0 lösen?
Für [mm] t\not=0 [/mm] erhält man
...<==> [mm] \bruch{1}{t}=cos(x)
[/mm]
Hat diese Gleichung eine Lösung für [mm] t=\bruch{1}{2}?
[/mm]
Für [mm] t=\bruch{3}{4}?
[/mm]
Für welche t hat die Gleichung eine Lösung haben?
Welches ist die Umkehrfunktion des Cosinus?
> PS: Wie kann man eigentlich die Ableitung von [mm]f_{t}[/mm]
> schreiben, in den Symbolen gibts nämlich kein " ' " für die
> Ableitung, oder doch?
Auf der Tastatur, links neben der Return-Taste.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Sypher |
Hallo und danke für die schnelle Antwort,
also so weit bin ich schon gekommen:
[mm] \bruch{1}{t}=cos(x)
[/mm]
Also da würd ich sagen, dass es für alle t [mm] \ge [/mm] 1 eine Lösung gibt und genauso für t [mm] \le [/mm] -1 !
Begründung: der cos kann höchstens 1 und mindestens -1 sein. Falls hier jedoch der Nenner kleiner 1 wird, dann wäre es ja größer als 1, mal das Vorzeichen weggenommen.
Das war mir alles klar, doch wie krieg ich jetzt raus, ob das ein Max. oder ein Min. ist??
Danke
Grüße
Sypher
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> Hallo und danke für die schnelle Antwort,
>
> also so weit bin ich schon gekommen:
> [mm]\bruch{1}{t}=cos(x)[/mm]
>
> Also da würd ich sagen, dass es für alle t [mm]\ge[/mm] 1 eine
> Lösung gibt und genauso für t [mm]\le[/mm] -1 !
> Begründung: der cos kann höchstens 1 und mindestens -1
> sein. Falls hier jedoch der Nenner kleiner 1 wird, dann
> wäre es ja größer als 1, mal das Vorzeichen weggenommen.
> Das war mir alles klar,
Warum schreibst Du es dann nicht? Unter "keine Idee" stelle ich mir nicht vor, daß das klar ist...
doch wie krieg ich jetzt raus, ob
> das ein Max. oder ein Min. ist??
Na, mit der zweiten Ableitung.
>0 Minimum, <0 Maximum.
Du mußt Dich da wahrscheinlich ein bißchen schlau machen über den arccos.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Sypher |
Hiho,
also danke nochmals für die schnelle Antwort.
Also nach meinen Berechnungen zufolge, komme ich auf diese Ergebnisse:
f''(x) = - t [mm] \* [/mm] sin (x)
[mm] f''(\bruch{1}{t}) [/mm] = - t [mm] \* [/mm] sin [mm] (\bruch{1}{t}) [/mm]
[mm] \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow\Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow\Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow
[/mm]
für t > 0 eine pos. Zahl, also TP
für t < 0 eine neg. Zahl, also HP
Falls ich diese Lösung noch bestätigt bekomme, dann bin ich für heute zufrieden [mm] :D\Rightarrow [/mm] P
Oh man 5x bearbeitet :?
Gruß
Sypher
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>
> Also nach meinen Berechnungen zufolge, komme ich auf diese
> Ergebnisse:
>
> f''(x) = - t [mm]\*[/mm] sin (x)
Das ist richtig.
Fürs nun folgende hast Du etwas zu schnell geschossen.
Gehen wir nochmal ein Stück zurück.
Wir betrachten|t|>1, und wir hatten f'(x)=0 <==> $ [mm] \bruch{1}{t}=cos(x) [/mm] $
Welches sind nun die Extremwertkandidaten??? Nicht [mm] \bruch{1}{t}, [/mm] sondern [mm] x_E= [/mm] ???
Gruß v. Angela
> [mm]f''(\bruch{1}{t})[/mm] = - t [mm]\*[/mm] sin [mm](\bruch{1}{t})[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Sypher |
Hi erst mal wieder danke,
hää? Jetzt raff ich nichts mehr!
Es ist doch gefragt: Für welche Werte von t nimmt [mm] f_{t} [/mm] ein.....im Bereich ]0 ; [mm] \pi[
[/mm]
Klar die Extrema wären in [mm] x_{E} [/mm] = arccos [mm] \bruch{1}{t}, [/mm] für |t|>1
Dann müsste es ja aber heißen:
$ f''(arccos [mm] \bruch{1}{t}) [/mm] $ = .... und das würd mir auch nicht gerade weiterhelfen. Also jetzt steh ich zum 1. mal WIRKLICH auf der Kippe
Please help
Sypher
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>
> Klar die Extrema wären in [mm]x_{E}[/mm] = arccos [mm]\bruch{1}{t},[/mm] für
> |t|>1
>
> Dann müsste es ja aber heißen:
>
> [mm]f''(arccos \bruch{1}{t})[/mm] = .... und das würd mir auch nicht
> gerade weiterhelfen.
Aber ja!
Du würdest nun untersuchen müssen, für welche Werte t die zweite Ableitung [mm] f''(x_E) [/mm] für [mm] x_E=arccos \bruch{1}{t} [/mm] größer als Null ist, und für welche kleiner.
Es geht ja hier um die Bestimmung der Extremwerte [mm] x_E [/mm] in Abhängigkeit von t.
(Daß t oder [mm] \bruch{1}{t} [/mm] selbst Extremwerte sind, hat niemand behauptet. Und niemand berechnet.)
> Also jetzt steh ich zum 1. mal
> WIRKLICH auf der Kippe
Nö, Du weißt das mit dem arccos ja...
Jetzt mußt Du nur konsequent weitermachen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Sypher |
Heureka, ich glaube ich habe es !!! (Hab auch im TS nachgeschaut...)
TP : f''(arccos [mm] \bruch{1}{t}) [/mm] > 0 :
- t [mm] \* [/mm] sin (arccos [mm] \bruch{1}{t}) [/mm] > 0
sin (arccos [mm] \bruch{1}{t}) [/mm] > 0
[mm] \bruch{1}{t} [/mm] > cos 0
[mm] \bruch{1}{t} [/mm] > 1
t > 1
HP : t < 1
Sodala, DAS sollte jetzt aber stimmen, oder?
Gruß
Sypher
PS: In welchem Fall wird das > -Zeichen eigentlich nochmal zum < -Zeichen? Wenn durch Minus geteilt wird, oder wie war das ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Sypher |
Ah sorry, wollt die Mitteilung ne Frage machen !
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> Heureka, ich glaube ich habe es !!! (Hab auch im TS
> nachgeschaut...)
>
> TP : f''(arccos [mm]\bruch{1}{t})[/mm] > 0 :
> - t [mm]\*[/mm] sin (arccos [mm]\bruch{1}{t})[/mm] > 0
> sin (arccos [mm]\bruch{1}{t})[/mm] > 0
> [mm]\bruch{1}{t}[/mm] > cos 0
> [mm]\bruch{1}{t}[/mm] > 1
> t > 1
>
> HP : t < 1
>
> Sodala, DAS sollte jetzt aber stimmen, oder?
Ob die Rechnungen soweit stimmen, kann ich im Moment nicht sagen, ich bin auf dem Sprung.
Mir ist aber noch etwas eingefallen, was Dich nicht freuen wird, weil es die Sache nicht übersichtlicher macht.
In einem Post schriebest Du:
> Klar die Extrema wären in $ [mm] x_{E} [/mm] $ = arccos $ [mm] \bruch{1}{t}, [/mm] $ für |t|>1
und ich habe wissend dazu genickt.
Das ist aber erst die halbe Wahrheit.
Aus [mm] \bruch{1}{t}=cos [/mm] x folgt
[mm] x=arccos\bruch{1}{t} +2k\pi [/mm]
oder
[mm] x=-arccos\bruch{1}{t}+2k\pi [/mm] für alle k [mm] \in \IZ [/mm] ,
aufgrund der Symmetrieeigenschaften und der Periodizität.
Der Definitionsbereich der Funktion f ist ja [-1,7],
Da muß man also gucken, was alles drinliegt.
>
> PS: In welchem Fall wird das > -Zeichen eigentlich nochmal
> zum < -Zeichen? Wenn durch Minus geteilt wird, oder wie war
> das ?
Genau. Wenn durch eine negative Zahl geteilt wird. Und wenn man auf beiden Seiten den Kehrwert bildet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Mo 26.02.2007 | | Autor: | Sypher |
Puh, also das hab ich bis jetzt noch nie gesehen, dass man da sowas hinhengen muss. Ausserdem hab ich das Ergebnis mit dem Taschenrechner kontrolliert, also für t<1 und t>1: Kam entsprechend das richitge raus (HP, TP) und 1>t>-1 kam dann auch kein Extremum raus.
Najah, ich lass es einfach mal so :P. Mal sehen was unsere Lehrerin so rauskriegt. Ich geb dann hier Bescheid ;)
Danke für die bísherigen Bemühungen.
Gruß
Sypher
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Hallo Sypher,
> [mm]f_{t}(x)[/mm] = - x + [mm]\pi[/mm] + [mm]t\*sin(x)[/mm] mit x [mm]\in[/mm] [-1 ; 7].
>
> [mm]f_{t}'(x)[/mm] = -1 + [mm]t\*cos[/mm] (x)
>
> Für welche Werte von t nimmt [mm]f_{t}[/mm] in [mm]]0;\pi[[/mm] ein relatives
> Maximum an, für welche ein relatives Minimum?
>
> Hallo,
>
> ich weiß nicht wie ich das genau machen soll.
>
> Wenn ich [mm]f_{t}'(x)[/mm] = 0 setze komm ich auch auf kein Ideen.
> Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich das machen
> soll?
>
Hast du die Funktion schon mal gezeichnet? Sieht sehr interessant aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du kannst sehr schön die Periodizität erkennen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe sie mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot gezeichnet.
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Di 27.02.2007 | | Autor: | Sypher |
Hallo,
danke Informix für die Bilder. Aber ich habe ja einen programierbaren Taschenrechner mit dem ich auch Graphen zeichnen kann. Daher konnte ich auch gut sehen, ob meine Rechnungen stimmen.
Gruß
Sypher
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