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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Sa 04.02.2006 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | | Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wähle die Maße dieses Rechtecks so, daß bei gegebenem Umfang U des Querschnitts sein Inhalt möglichst groß wird. |
Hallo!
A ist Oberfläche und U ist Umfang.
Ich habe die Seiten des Rechtecks mit a und b bezeichnet und folgende Zielfunktion aufgestellt:
A(a;b)=a*b+ [mm] \bruch{ \pi*b^2}{8}
[/mm]
In der Zielfunktion sind zwei Variablen(a und b), deswegen habe ich eine Nebenbedingung aufgestellt:
U=2a+b+ [mm] \bruch{1}{2}\pi*b
[/mm]
und nach a aufgelöst:
a= - [mm] \bruch{b}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}\pi*b [/mm] + [mm] \bruch{U}{2}
[/mm]
Dieses Ausdrück habe ich für a in meine Zielfunktion eingesetz.
Daraus habe ich folgendes erhalten:
A(b)= - [mm] \bruch{b^2}{2}+ \bruch{U*b}{2}- \bruch{\pi*b^2}{8}
[/mm]
und habe zum diesen zusammengefasst:
A(b)= [mm] \bruch{b^2(-4-\pi)}{8}+ \bruch{U*b}{2} [/mm] (richtig so?)
Dann habe ich zwei Ableitungen gemacht um das Extremum zu bestimmen:
A´(b)= [mm] \bruch{b(-4-\pi)}{4}+ \bruch{U}{2}
[/mm]
A´´(b)= [mm] \bruch{(-4-\pi)}{4}
[/mm]
Notw.Krit. A'(b)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] b= [mm] \bruch{2U}{4+\pi}
[/mm]
Hinr.Krit. A'(b)=0 und A´´(b)< 0
[mm] \Rightarrow [/mm] A´´(b)< 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum
Funktionswerte:
[mm] A(\bruch{2U}{4+\pi})=\bruch{32U^2*(-4-\pi)}{16+\pi^2}+\bruch{U^2}{4+\pi} [/mm]
Kann ich diesen Ausdrück noch zusammenfassen?
Ist das überhaupt richtig bis hierhin?
Vielen Dank im voraus.
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Hi, splin,
> Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit
> aufgesetztem Halbkreis. Wähle die Maße dieses Rechtecks so,
> daß bei gegebenem Umfang U des Querschnitts sein Inhalt
> möglichst groß wird.
> A ist Oberfläche und U ist Umfang.
> Ich habe die Seiten des Rechtecks mit a und b bezeichnet
> und folgende Zielfunktion aufgestellt:
> A(a;b)=a*b+ [mm]\bruch{ \pi*b^2}{8}[/mm]
Richtig!
> In der Zielfunktion sind
> zwei Variablen(a und b), deswegen habe ich eine
> Nebenbedingung aufgestellt:
> U=2a+b+ [mm]\bruch{1}{2}\pi*b[/mm]
Auch OK!
> und nach a aufgelöst:
> a= - [mm]\bruch{b}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}\pi*b[/mm] + [mm]\bruch{U}{2}[/mm]
> Dieses Ausdrück habe ich für a in meine Zielfunktion
> eingesetz.
> Daraus habe ich folgendes erhalten:
> A(b)= - [mm]\bruch{b^2}{2}+ \bruch{U*b}{2}- \bruch{\pi*b^2}{8}[/mm]
>
> und habe zum diesen zusammengefasst:
> A(b)= [mm]\bruch{b^2(-4-\pi)}{8}+ \bruch{U*b}{2}[/mm] (richtig so?)
Alles OK!
> Dann habe ich zwei Ableitungen gemacht um das Extremum zu
> bestimmen:
> A´(b)= [mm]\bruch{b(-4-\pi)}{4}+ \bruch{U}{2}[/mm]
> A´´(b)=
> [mm]\bruch{(-4-\pi)}{4}[/mm]
> Notw.Krit. A'(b)=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] b= [mm]\bruch{2U}{4+\pi}[/mm]
> Hinr.Krit. A'(b)=0 und A´´(b)< 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] A´´(b)< 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Maximum
Aber pass' auf! Mit der 2. Ableitung kannst Du nur beweisen, dass ein RELATIVES Max. vorliegt. Um zu begründen, das es auch ein ABSOLUTES Max. ist, kannst Du etwa so vorgehen: Der Graph von A(b) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitel einer solchen ist ein ABSOLUTER (!) Hochpunkt.
> Funktionswerte:
>
> [mm]A(\bruch{2U}{4+\pi})=\bruch{32U^2*(-4-\pi)}{16+\pi^2}+\bruch{U^2}{4+\pi}[/mm]
>
> Kann ich diesen Ausdrück noch zusammenfassen?
Eigentlich sollst Du die Fläche gar nicht ausrechnen, sondern "die Maße des Rechtecks", d.h. die Seiten a und b. Da Du b bereits berechnet hast, fehlt noch a.
Wenn Du nun die Fläche aber schon berechnet hast, will ich sie mir auch kurz ansehen. Ich glaub' nämlich, Du hast Dich da verrechnet.
Wär's nicht so richtiger:
[mm] A(\bruch{2U}{4+\pi})=\bruch{-4U^2*(4+\pi)}{8(4+\pi)^2}+\bruch{U^2}{4+\pi}
[/mm]
= [mm] \bruch{-U^2}{2(4+\pi)}+\bruch{2U^2}{2(4+\pi)}
[/mm]
= [mm] \bruch{U^2}{2(4+\pi)}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Sa 04.02.2006 | | Autor: | splin |
> Hi, splin,
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> > Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit
> > aufgesetztem Halbkreis. Wähle die Maße dieses Rechtecks so,
> > daß bei gegebenem Umfang U des Querschnitts sein Inhalt
> > möglichst groß wird.
> > A ist Oberfläche und U ist Umfang.
>
>
> > Ich habe die Seiten des Rechtecks mit a und b bezeichnet
> > und folgende Zielfunktion aufgestellt:
> > A(a;b)=a*b+ [mm]\bruch{ \pi*b^2}{8}[/mm]
>
> Richtig!
>
> > In der Zielfunktion sind
> > zwei Variablen(a und b), deswegen habe ich eine
> > Nebenbedingung aufgestellt:
> > U=2a+b+ [mm]\bruch{1}{2}\pi*b[/mm]
>
> Auch OK!
>
> > und nach a aufgelöst:
> > a= - [mm]\bruch{b}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}\pi*b[/mm] + [mm]\bruch{U}{2}[/mm]
> > Dieses Ausdrück habe ich für a in meine Zielfunktion
> > eingesetz.
> > Daraus habe ich folgendes erhalten:
> > A(b)= - [mm]\bruch{b^2}{2}+ \bruch{U*b}{2}- \bruch{\pi*b^2}{8}[/mm]
>
> >
> > und habe zum diesen zusammengefasst:
> > A(b)= [mm]\bruch{b^2(-4-\pi)}{8}+ \bruch{U*b}{2}[/mm] (richtig
> so?)
>
> Alles OK!
>
> > Dann habe ich zwei Ableitungen gemacht um das Extremum zu
> > bestimmen:
> > A´(b)= [mm]\bruch{b(-4-\pi)}{4}+ \bruch{U}{2}[/mm]
> > A´´(b)=
> > [mm]\bruch{(-4-\pi)}{4}[/mm]
> > Notw.Krit. A'(b)=0
> > [mm]\Rightarrow[/mm] b= [mm]\bruch{2U}{4+\pi}[/mm]
> > Hinr.Krit. A'(b)=0 und A´´(b)< 0
> > [mm]\Rightarrow[/mm] A´´(b)< 0 [mm]\Rightarrow[/mm] Maximum
>
> Aber pass' auf! Mit der 2. Ableitung kannst Du nur
> beweisen, dass ein RELATIVES Max. vorliegt. Um zu
> begründen, das es auch ein ABSOLUTES Max. ist, kannst Du
> etwa so vorgehen: Der Graph von A(b) ist eine nach unten
> geöffnete Parabel. Der Scheitel einer solchen ist ein
> ABSOLUTER (!) Hochpunkt.
>
> > Funktionswerte:
> >
> >
> [mm]A(\bruch{2U}{4+\pi})=\bruch{32U^2*(-4-\pi)}{16+\pi^2}+\bruch{U^2}{4+\pi}[/mm]
> >
> > Kann ich diesen Ausdrück noch zusammenfassen?
>
> Eigentlich sollst Du die Fläche gar nicht ausrechnen,
> sondern "die Maße des Rechtecks", d.h. die Seiten a und b.
> Da Du b bereits berechnet hast, fehlt noch a.
>
> Wenn Du nun die Fläche aber schon berechnet hast, will ich
> sie mir auch kurz ansehen. Ich glaub' nämlich, Du hast Dich
> da verrechnet.
> Wär's nicht so richtiger:
>
> [mm]A(\bruch{2U}{4+\pi})=\bruch{-4U^2*(4+\pi)}{8(4+\pi)^2}+\bruch{U^2}{4+\pi}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-U^2}{2(4+\pi)}+\bruch{2U^2}{2(4+\pi)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{U^2}{2(4+\pi)}[/mm]
>
> mfG!
> Zwerglein
Hallo
Um zu bestimmen dass es absoluter Extremum ist, habe ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] von A(b) bestimmt und habe da - [mm] \infty [/mm] gekrigt.
Danach habe ich b in die Nebenbediengung eingesetzt und a berechnet:
a= [mm] -\bruch{2U+\pi*U}{8+2\pi}+\bruch{U}{2}
[/mm]
Antwort: Das Inhalt des Rechtecks wird maximal für:
a= [mm] -\bruch{2U+\pi*U}{8+2\pi}+\bruch{U}{2}
[/mm]
[mm] b=\bruch{2U}{4+\pi}
[/mm]
Umfang ist vorgegeben.
Stimmt das?
MfG Splin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Sa 04.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo splin
Da das Ding ein Kanal sein soll, denk ich dass du den Umfang falsch hast! Kanäle sind i.A. oben nicht zu , so dass der Umfang nicht U= [mm] 2a+b+b*\pi/2 [/mm] ist, sondern nur U= [mm] 2a+b*\pi/2 [/mm] . Ich glaub dnn werden auch deine Ausdrücke einfacher. ich hab nicht nachgerechnet.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 So 05.02.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Leduart,
> Hallo splin
> Da das Ding ein Kanal sein soll, denk ich dass du den
> Umfang falsch hast! Kanäle sind i.A. oben nicht zu , so
> dass der Umfang nicht U= [mm]2a+b+b*\pi/2[/mm] ist, sondern nur U=
> [mm]2a+b*\pi/2[/mm] . Ich glaub dnn werden auch deine Ausdrücke
> einfacher. ich hab nicht nachgerechnet.
Das "b" aus dem Umfang ist der "Boden" des Kanals;
der Halbkreis ist das Deckengewölbe!
Hier handelt sich's um einen Kanal wie z.B. im Nachkriegsfilm
"Der dritte Mann"!
splins Ansatz ist daher richtig!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo splin!
> Um zu bestimmen dass es absoluter Extremum ist, habe ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] von A(b) bestimmt und habe da -
> [mm]\infty[/mm] gekrigt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Der Vollstndigkeit halber sollte man nun auch noch den Grenzwert [mm] $\limes_{b\rightarrow 0}A(b)$ [/mm] untersuchen.
> Danach habe ich b in die Nebenbediengung eingesetzt und a
> berechnet:
>
> a= [mm]-\bruch{2U+\pi*U}{8+2\pi}+\bruch{U}{2}[/mm]
Das kann man aber noch zusammenfassen zu:
$a \ = \ [mm] \bruch{U}{4+\pi}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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