Extrema mehrerer veränderliche < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 5y^{2}-6x+10y+6.
[/mm]
Bestimmen Sie:
a) das absolute Minimum der Funktion f.
b) alle Extrema von f unter der Nebenbedingung x + y = 3 |
Hallo,
ich bin noch nicht so sicher, allerdings vermute ich, dass a) richtig ist, aber bei b) weiß ich nicht was die von mir wollen ?!?
Bei a) mache ich doch einfach f'x(x,y) ; f''x(x,y) ; f'y(x,y) ; f''y(x,y) und eine gemischte f''xy(x,y) oder f''yx(x,y)
mit f'x(x,y) und f'y(x,y) finde ich heraus WO die extrema sind, indem ich die 1. ableitung = 0 setze und nach x bzw. y auflöse....
dann nehme ich f''x(x,y) und f'y(x,y) und setze diese auf die hauptdiagonale der hesse matrix.... die gemischte, 2. abl. setzte ih auf die nebendiagonale 2x....
Sprich:
[mm] \pmat{ f''x(x,y) & f''xy(x,y) \\ f''xy(x,y) & f''y(x,y) }
[/mm]
falls noch variablen vorhanden sind in der matrix, löse ich diese auf indem ich den vorher errechneten x bzw. y-wert einsetze
danach folgt lediglich
ist detA>0 haben wir maximum oder minimum
ist detA<0 Sattelpunkt
ist detA=0 Unbekannt, das müsste man dann auf andere Art und weise herausfinden
um nun zu wissen ob es ein Max ODER Min ist, reicht es, wenn wir uns das Element a11 anschauen, ist dieses positiv, sind die EW positiv und wir haben ein minimum. bei negativ haben wir ein maximum.
FRAGEN:
ich denke das ist soweit richtig, oder ?
wenn ich eine ableitung machen muss und vorher schon nur noch eine Konstante vorhanden war, dann sit die Ableitung davon doch = 0 und in die hesse matrix kommt dann eine 0 , richtig ?
was ist mit aufgabe b) gemeint ? wie gehe ich an diese aufgabe ran ? wenn x + y = 3 ist.... das könnte ja 1+2; 2+1; 1,5+1,5 etc. sein ?!? soll ich alle erdenklichen varianten durchrechnen ?
gruß rudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mi 28.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei f(x,y) = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]5y^{2}-6x+10y+6.[/mm]
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> Bestimmen Sie:
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> a) das absolute Minimum der Funktion f.
>
> b) alle Extrema von f unter der Nebenbedingung x + y = 3
> Hallo,
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> ich bin noch nicht so sicher, allerdings vermute ich, dass
> a) richtig ist, aber bei b) weiß ich nicht was die von mir
> wollen ?!?
>
> Bei a) mache ich doch einfach f'x(x,y) ; f''x(x,y) ;
> f'y(x,y) ; f''y(x,y) und eine gemischte f''xy(x,y) oder
> f''yx(x,y)
>
> mit f'x(x,y) und f'y(x,y) finde ich heraus WO die extrema
> sind, indem ich die 1. ableitung = 0 setze und nach x bzw.
> y auflöse....
>
>
> dann nehme ich f''x(x,y) und f'y(x,y) und setze diese auf
> die hauptdiagonale der hesse matrix.... die gemischte, 2.
> abl. setzte ih auf die nebendiagonale 2x....
>
>
> Sprich:
>
> [mm]\pmat{ f''x(x,y) & f''xy(x,y) \\ f''xy(x,y) & f''y(x,y) }[/mm]
>
>
> falls noch variablen vorhanden sind in der matrix, löse
> ich diese auf indem ich den vorher errechneten x bzw.
> y-wert einsetze
>
> danach folgt lediglich
>
> ist detA>0 haben wir maximum oder minimum
> ist detA<0 Sattelpunkt
> ist detA=0 Unbekannt, das müsste man dann auf andere Art
> und weise herausfinden
>
> um nun zu wissen ob es ein Max ODER Min ist, reicht es,
> wenn wir uns das Element a11 anschauen, ist dieses positiv,
> sind die EW positiv und wir haben ein minimum. bei negativ
> haben wir ein maximum.
>
>
>
> FRAGEN:
>
> ich denke das ist soweit richtig, oder ?
>
> wenn ich eine ableitung machen muss und vorher schon nur
> noch eine Konstante vorhanden war, dann sit die Ableitung
> davon doch = 0 und in die hesse matrix kommt dann eine 0 ,
> richtig ?
Deine Überlegungen sind alle richtig, aber hier brauchst Du das alles nicht, wenn Du an quadratische Ergänzung denkst:
$f(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] $ + $ [mm] 5y^{2}-6x+10y+6=x^2-6x+9-9+5(y^2+2y+1-1)+6=(x-3)^2+5(y+1)^2-8 [/mm] $.
Also ist
$f(x,y) [mm] \ge [/mm] -8$ für alle (x,y) [mm] \in \IR^2
[/mm]
und
$f(3,-1)=-8$.
Damit hat f in (3,-1) das absolute Minimum -8.
>
> was ist mit aufgabe b) gemeint ? wie gehe ich an diese
> aufgabe ran ? wenn x + y = 3 ist.... das könnte ja 1+2;
> 2+1; 1,5+1,5 etc. sein ?!? soll ich alle erdenklichen
> varianten durchrechnen ?
Es ist x + y = 3 [mm] \gdw [/mm] y=3-x
Gesucht sind die Extremwerte von g(x)=f(x,3-x)
FRED
>
>
> gruß rudi
>
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das istm ir jetzt alles ein wenig zu hoch und zu unübersichtlich... habe nur bahnhof verstanden :-/
wenn ich die obige aufgabe löse, erhalte ich mein minimum bei (3/-1)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 28.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> das istm ir jetzt alles ein wenig zu hoch und zu
> unübersichtlich... habe nur bahnhof verstanden :-/
Was hast Du nicht verstanden ?
>
> wenn ich die obige aufgabe löse, erhalte ich mein minimum
> bei (3/-1)
Das hab ich auch. Ich habe gezeigt, dass f in diesem Punkt ein globales Minimum hat. Du hast nur gezeigt, dass f in diesem Punkt ein lokales Minimum hat.
FRED
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ich verstehe ALLES nicht...
ich weiß lediglich wie man bei mehreren veränderlichen die lokalen extrema bestimmt. mehr nicht...
leider wird es hier [mm] http://www.j3l7h.de/lectures/1414ss/Mathe_2/ThemenUndTermine.html
[/mm]
auch viel um den heißen brei herumgeredet und ich nicht genau erklärt wie globale minima/maxima gut berechent werden...nur ein video gibts dazu...
was genau meint der aufgabensteller mit dem absoluten minimum ?... ich soll gucken, ob das lokale oder das globale minimum der niedrigste punkt ist und ihm diesen nennen....also ich muss einfach beides ausrechnen und gucken welcher punkt der tiefste ist ?!?
ich würde gern genau wissen wie ich ein globales minimum/maximum berechne....mit dem lokalen berechne ich ja nur sogenannte "dellen" oder "beulen".... aber die ränder könnten ja noch viel höher sein...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Do 29.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> ich verstehe ALLES nicht...
Was soll man dann antworten?
>
> ich weiß lediglich wie man bei mehreren veränderlichen
> die lokalen extrema bestimmt. mehr nicht...
Da bin ich nicht so sicher. Du kennst ein Verfahren, das aber nicht immer eine Antwort liefert. Kennst Du noch mehr Verfahren?
>
>
> leider wird es hier
> [mm]http://www.j3l7h.de/lectures/1414ss/Mathe_2/ThemenUndTermine.html[/mm]
Da verweist Du auf eine Übersichtsseite.
>
> auch viel um den heißen brei herumgeredet und ich nicht
> genau erklärt wie globale minima/maxima gut berechent
> werden...nur ein video gibts dazu...
Da muss ich zu lange suchen, aber Dein Kommentar ist auch nicht spezifisch.
>
>
> was genau meint der aufgabensteller mit dem absoluten
> minimum ?... ich soll gucken, ob das lokale oder das
> globale minimum der niedrigste punkt ist und ihm diesen
> nennen....also ich muss einfach beides ausrechnen und
> gucken welcher punkt der tiefste ist ?!?
Das ist mal eine konkrete Frage. Du ahnst es sowieso schon:
Der Fragesteller ist so nett, dass Du gar nicht erst suchen musst. Er sagt Dir schon es gibt ein Wertepaar x,y, für das die Funktion einen Wert annimmt, der kleiner (oder gleich) als alle anderen Funktionswerte ist. Aufgabe: nenne x und y.
Wie Du zu der Antwort kommst, ist Dir überlassen. Du hast Dir als Kandidat ein lokales Minimum gesucht. Nun musst Du aber noch nachweisen, dass die Funktion nie noch kleinere Werte annimmt. Dazu musst Du kreativ werden. Hast Du eine Vorstellung, wie das Gebilde aussieht?
>
> ich würde gern genau wissen wie ich ein globales
> minimum/maximum berechne....mit dem lokalen berechne ich ja
> nur sogenannte "dellen" oder "beulen".... aber die ränder
> könnten ja noch viel höher sein...
Und daher musst Du auch in diese Gegenden schauen. Eine Möglichkeit ist: sobald Du eine Stelle gefunden hast, die einen kleineren Funktionswert als den des lokalen Minimums hat, weißt Du, dass das lokale Minimum kein globales ist. So eine Stelle gibt es bei dieser Funktion aber nicht.
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ok, klingt einleuchtend.
aber wenn es jetzt bei meiner aufgabe noch ein GLOBALES gäbe, ich aber nur das LOKALE herausgefunden habe...
wie mache ich das dann mit dem GLOBALEN extremum ?
ich habe diese video https://www.youtube.com/watch?v=5h8-72uDsgA
betrachtet.... dort sind aber schon die punkte vorgegeben, bei denen er überprüfen soll was man dort findet...
wenn diese punkte aber nicht vorgegeben sind, schaue ich ja zuerst mal nach lokalen extrema.... und dann schaue ich ob es globale extrema gibt, nur wie ?!? mit welchen werten ?
gruß rudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 So 01.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo RudiRabenkopf!
Zur Einfachheit beziehen wir uns mal auf [mm] \IR. [/mm] Wir betrachten mal
eine stetige Abbildung
[mm] f\colon[a,b]\to\IR.
[/mm]
1) [mm] $f\$ [/mm] nimmt auf [mm] $[a,b]\$ [/mm] sein globales Maximum und Minimum an (Wieso?).
2) Besitzt [mm] $f\$ [/mm] ein lokales Extremum in [mm] x_0\in(a,b) [/mm] und ist in [mm] x_0 [/mm] diffe-
renzierbar, so gilt: [mm] f'(x_0)=0. [/mm] Beachte dabei, dass wir hier mit
$(a,b)$ ein offenes Intervall betrachten und die Randpunkte [mm] $a\$ [/mm] und
[mm] $b\$ [/mm] nicht eingeschlossen sind! Aus diesem Grund müssen wir erst
die Randpunkte untersuchen um eine Aussage über globale Extre-
ma zu treffen.
Alternativ wirst du auch darauf kommen, wenn du dir ganz simpel,
ohne den Begriff Differenzierbarkeit, globale Extrema definierst.
Vielleicht machst du dir auch klar, dass eine Funktion nicht un-
bedingt differenzierbar in einem Extremum sein muss!
Gruß
DieAcht
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