Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:11 So 25.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
ich habe die Funktion
[mm] f(x,y)=-x^2-xy [/mm] auf D={(x,y) auf [mm] R^2: 2x^2-2xy+y^2\le1}
[/mm]
Damit weiß ich ja, da die Menge kompakt ist, dass es stationäre Punkte im Inneren und am Rand geben muss (lauten solche kompakten Nebenbedingungen eigentlich immer [mm] \le [/mm] ? Was ist, wenn sie [mm] \ge [/mm] heißen, muss ich dann etwas beachten?).
nach x abgeleitet: 2x-y=0
nach y abgeleitet: -x=0 => x=0
also 2x-y=0 für x=0: => y=0
Also liegt in x=0 ein Extremum vor.
2. Ableitungen bilden:
nach x: 2
nach y: 0
gemischte Ableitungen: -1
Hesse Matrix
2 -1
-1 0
Aber was mache ich nun damit? Ich kann hier ja keinen Punkt mehr einsetzen. Muss ich trotzdem die Definitheit der Matrix bestimmen und bekomme darüber Erkenntnisse? Wie stelle ich das an?
Dann gibt es ja noch Extrema am Rande, also:
[mm] F(x,y,\lambda)=x^2-xy+\lambda(2x^2-2xy+y^2-1)
[/mm]
nach x abgeleitet: [mm] 2x-y+4\lambdax-2\lambday
[/mm]
Das kann ich mit einem Tipp umstellen nach: [mm] (1+2\lambda)(2x-y)
[/mm]
nach y abgeleitet: [mm] -x-2\lambdax+2\lambday
[/mm]
nach [mm] \lambda: 2x^2-2xy+y^2-1
[/mm]
Ich habe sonst immer Folgendes gemacht: Die erste Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] umstellen, das Ergebnis dann in die zweite Gleichung einsetzen und das Ergebnis dann in die dritte.
Aber ich verzweiofle schon daran,die erste Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] umzustellen, vor allem mit diesem "Tipp".
Kann jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 25.01.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Englein,
> [mm]F(x,y,\lambda)=x^2-xy+\lambda(2x^2-2xy+y^2-1)[/mm]
>
> nach x abgeleitet: [mm]2x-y+4\lambda*x-2\lambda*y[/mm]
Das konnte man nicht lesen; drum hab' ich's mal nachgebessert!
> Das kann ich mit einem Tipp umstellen nach:
> [mm](1+2\lambda)(2x-y)[/mm]
>
> nach y abgeleitet: [mm]-x-2\lambda*x+2\lambda*y[/mm]
>
> nach [mm]\lambda: 2x^2-2xy+y^2-1[/mm]
>
> Ich habe sonst immer Folgendes gemacht: Die erste Gleichung
> nach [mm]\lambda[/mm] umstellen, das Ergebnis dann in die zweite
> Gleichung einsetzen und das Ergebnis dann in die dritte.
Was meinst Du mit "Gleichung": zunächst hast Du ja nur einen Term!
WEnn Du den =0 setzt, hast Du eine Gleichung, aus der Du [mm] \lambda [/mm] = -0,5 [mm] \vee [/mm] x = 0,5y ausrechnen könntest. Ist es das, was Du willst?
mfG!
Zwerglein
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> > [mm]F(x,y,\lambda)=x^2-xy+\lambda(2x^2-2xy+y^2-1)[/mm]
> >
> > nach x abgeleitet: [mm]2x-y+4\lambda*x-2\lambda*y[/mm]
>
> Das konnte man nicht lesen; drum hab' ich's mal
> nachgebessert!
>
> > Das kann ich mit einem Tipp umstellen nach:
> > [mm](1+2\lambda)(2x-y)[/mm]
> >
> > nach y abgeleitet: [mm]-x-2\lambda*x+2\lambda*y[/mm]
> >
> > nach [mm]\lambda: 2x^2-2xy+y^2-1[/mm]
> >
> > Ich habe sonst immer Folgendes gemacht: Die erste Gleichung
> > nach [mm]\lambda[/mm] umstellen, das Ergebnis dann in die zweite
> > Gleichung einsetzen und das Ergebnis dann in die dritte.
>
> Was meinst Du mit "Gleichung": zunächst hast Du ja nur
> einen Term!
> WEnn Du den =0 setzt, hast Du eine Gleichung, aus der Du
> [mm]\lambda[/mm] = -0,5 [mm]\vee[/mm] x = 0,5y ausrechnen könntest. Ist es
> das, was Du willst?
>
Ja, mit Gleichung meinte ich, dass ich die partiellen Ableitungen =0 setze.
Das heißt, dass ich nun [mm] \lambda [/mm] und x in die zweite Gleichung (die Ableitung naxh y=0) einsetze und damit vorankomme?
Laut meinem Mathebuch empfiehlt es sich eben die erste Ableitung (nach x)=0 zu setzen, dann [mm] \lambda [/mm] zu berechnen, dies dann in die Ableitung nach y (=0) einzusetzen, damit y zu berechnen und zum Schluss die eindeutigen Ergebnisse zu bekommen indem der Wert in die Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] eingesetzt wird.
Aber hier habe ich nun offenbar aus der ersten Gleichung von [mm] \lambda [/mm] und x. Ich habe gerade keine Ahnung, was ich tun muss..
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> >
> > > [mm]F(x,y,\lambda)=x^2-xy+\lambda(2x^2-2xy+y^2-1)[/mm]
> > >
> > > nach x abgeleitet: [mm]2x-y+4\lambda*x-2\lambda*y[/mm]
> >
> > Das konnte man nicht lesen; drum hab' ich's mal
> > nachgebessert!
> >
> > > Das kann ich mit einem Tipp umstellen nach:
> > > [mm](1+2\lambda)(2x-y)[/mm]
> > >
> > > nach y abgeleitet: [mm]-x-2\lambda*x+2\lambda*y[/mm]
> > >
> > > nach [mm]\lambda: 2x^2-2xy+y^2-1[/mm]
> > >
> > > Ich habe sonst immer Folgendes gemacht: Die erste Gleichung
> > > nach [mm]\lambda[/mm] umstellen, das Ergebnis dann in die zweite
> > > Gleichung einsetzen und das Ergebnis dann in die dritte.
> >
> > Was meinst Du mit "Gleichung": zunächst hast Du ja nur
> > einen Term!
> > WEnn Du den =0 setzt, hast Du eine Gleichung, aus der
> Du
> > [mm]\lambda[/mm] = -0,5 [mm]\vee[/mm] x = 0,5y ausrechnen könntest. Ist es
> > das, was Du willst?
> >
>
> Ja, mit Gleichung meinte ich, dass ich die partiellen
> Ableitungen =0 setze.
Hallo,
Du möchtest also
0= [mm]2x-y+4\lambda*x-2\lambda*y[/mm]
0= [mm]-x-2\lambda*x+2\lambda*y[/mm]
0=[mm]\lambda: 2x^2-2xy+y^2-1[/mm]
lösen.
>
> Das heißt, dass ich nun [mm]\lambda[/mm] und x in die zweite
> Gleichung (die Ableitung naxh y=0) einsetze und damit
> vorankomme?
Ich hab' ja keine Ahnung, wie Du ds meinst. Sowas müßtest Du schon vorrechnen - und dann merkst Du auch, ob Du so weiterkommst.
>
> Laut meinem Mathebuch empfiehlt es sich eben die erste
> Ableitung (nach x)=0 zu setzen, dann [mm]\lambda[/mm] zu berechnen,
> dies dann in die Ableitung nach y (=0) einzusetzen, damit y
> zu berechnen und zum Schluss die eindeutigen Ergebnisse zu
> bekommen indem der Wert in die Ableitung nach [mm]\lambda[/mm]
> eingesetzt wird.
Hast Du's durchgeführt? Ein Ergebnis bekommen? Der vorgeschlagenen Weg scheint mit gut gangbar zu sein.
Oft ist es sinnvoll, erstaml das [mm] \lambda [/mm] zu eliminieren, weil man's eigentlich nicht braucht.
> Aber hier habe ich nun offenbar aus der ersten Gleichung
> von [mm]\lambda[/mm] und x. Ich habe gerade keine Ahnung, was ich
> tun muss..
Ich nicht, was Du jetzt gerade wissen willst...
Gruß v. Angela
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Ich habe das jetzt mal versucht zu berechnen, aber ich komme nicht voran.
Ich habe ja die Funktion [mm] f(x,y)=x^2-xy [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] 2x^2-2xy+y^2 \le [/mm] 1
Ich suche jetzt die stationären Punkte am Rand:
F(x,y, [mm] \lambda)= x^2-y+4 \lambda [/mm] x - [mm] 2\lambda [/mm] y
nach x ableiten:
2x-y+4 [mm] \lambda [/mm] x - 2 [mm] \lambda [/mm] y=0
Kann ich umformen zu
(1+2 [mm] \lambda) [/mm] (2x -y)=0
Also [mm] \lambda [/mm] = -0,5 oder x=0,5 y
nach y abgeleitet: -x-2 [mm] \lambda [/mm] x + 2 [mm] \lambda [/mm] y=0
nach [mm] \lambda: 2x^2-2xy+y^2-1=0
[/mm]
Ich setze hier x=0,5y (also in die Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] )
Dann bekomme ich am Ende aber [mm] 8y^2=1, [/mm] also [mm] y^2 [/mm] = +/- 1/8. Das scheint mir aber ein ziemlich ungerades Ergebnis, habe ich mich irgendwo verrechnet?
Und: Habe ich demnach als Lagrange-Multiplikator [mm] \lambda [/mm] = -0,5, oder wäre Lagrange nur mit einer Nebenbedingung die ..=.. lautet? Hier habe ich ja eine kompakte Nebenbedingung, also musste ich im Inneren und auf dem Rand suchen.
Wir haben aber auch mal gesagt bei einer Nebenbedingung die [mm] 2x^2+y^2=1 [/mm] lautete, dass die Restriktionsmenge kompakt sei und deshalb man nur auf dem Rand untersuchen müsste. Aber müsste es nicht lauten "nicht kompakt"?
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Und was ich auch nicht ganz verstehe.. wenn ich eine offene Definitionsmenge habe, dann muss ich nicht auf Randpunkte untersuchen - haben wir in der Vorlesung gesagt.
Was heißt das? Ein offener Definitionsbereich. Meint das alle Fälle, in denen ich keine Nebenbedingungen habe?
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> Und was ich auch nicht ganz verstehe.. wenn ich eine offene
> Definitionsmenge habe, dann muss ich nicht auf Randpunkte
> untersuchen - haben wir in der Vorlesung gesagt.
>
> Was heißt das? Ein offener Definitionsbereich. Meint das
> alle Fälle, in denen ich keine Nebenbedingungen habe?
Hallo,
ein offenener Definitionsbereich ist das, was keinen rand hat, bzw. wo der Rand nicht dazugehört.
Völlig randlos ist der [mm] \IR^2.
[/mm]
Offen ist aber auch das Innere eines Kreises, wenn die NB z.B. lautet [mm] (x-1)^2 +(y-3)^2< [/mm] 25.
Dieses gebiet ist eine Kreisscheibe um (1/ 3) mit dem Radius 5 - aber ohne Rand.
Du machst hier eine Untersuchung ohne Lagrange, also mit grdient=0 und Hessematrix, und guckst nach, welche der errechneten Punkte [mm] (x-1)^2 +(y-3)^2< [/mm] 25 erfüllen.
Nicht offen ist die Menge der Punkte mit [mm] (x-1)^2 +(y-3)^2\le [/mm] 25. Hier gehört der Kreisrand dazu (das sagt das =).
Du mußt eine Untersuchung machen wie zuvor, und dann noch auf dem Rand, also für [mm] (x-1)^2 +(y-3)^2= [/mm] 25 mit Lagrange.
Sollst Du untersuchen auf der Menge der Punkte mit [mm] (x-1)^2 +(y-3)^2= [/mm] 25, so ist die Untersuchung nur auf dem rand durchzuführen, also mit Lagrange.
Mal grob - damit kommt man ziemlich weit:
wenn Deine NB mit <, > ist oder keine Nebenbedingung: Gradient =0 und Hessematrix
Ist die NB mit =, dann Lagrange
Ist die NB mit [mm] \le, \ge [/mm] , dann beides.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Di 03.02.2009 | | Autor: | Englein89 |
Hallo!
Vielen Dank nachträglich für diese Erklärung, die hat mir echt weitergeholfen!
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> Mal grob - damit kommt man ziemlich weit:
>
> wenn Deine NB mit <, > ist oder keine Nebenbedingung:
> Gradient =0 und Hessematrix
>
> Ist die NB mit =, dann Lagrange
>
> Ist die NB mit [mm]\le, \ge[/mm] , dann beides.
>
Doch noch eine kurze Zwischenfrage: Wann sollte ich die Hessematrix allgemein bestimmen und wann kann ich die stationären Punkte direkt hier einsetzen und die Determinante daraufhin bestimmen?
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> Doch noch eine kurze Zwischenfrage: Wann sollte ich die
> Hessematrix allgemein bestimmen und wann kann ich die
> stationären Punkte direkt hier einsetzen und die
> Determinante daraufhin bestimmen?
Hallo,
ich verstehe die Frage nicht so recht.
Um in meine Hessematrix etwas einsetzen zu können, muß ich sie doch in jedem Fall erstmal allgemein hinschreiben mit x,y,und ggf. z.
Gruß v. Angela
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Ich habe aber meistens gleich die Werte in die partiellen Ableitungen gesetzt und dann erst die Hessematrix gebildet. In den Übungen haben wie die Determinanten aus der allgemeinen Hessematrix gebildet und dann eingesetzt. Was ist denn der Vorteil daran, es scheint mir nur komplizierter.
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> Ich habe aber meistens gleich die Werte in die partiellen
> Ableitungen gesetzt und dann erst die Hessematrix gebildet.
> In den Übungen haben wie die Determinanten aus der
> allgemeinen Hessematrix gebildet und dann eingesetzt. Was
> ist denn der Vorteil daran, es scheint mir nur
> komplizierter.
Hallo,
Ihr habt das wohl gemacht, weil Ihr mitunter daraus, daß die Hessematrix für alle Punkte positiv definit ist, Schlüsse gezogen habt darauf, daß Euer Minimum global ist.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank, Angela :)
Ich hoffe dies sind dann im Moment auch die letzten Fragen dazu:
Das bedeutet doch alles, dass ich die Hessematrix nur dann brauche, wenn ich keine Nebenbedingung habe, richtig? Denn dann würde ich ja nur die stationären Punkte berechnen, dann auf dem Rand schauen und alle meine Punkte vergleichen oder?
Und: Wir haben gesagt, dass man nur bei kompakten Mengen eine Randuntersuchung macht, also bei [mm] \ge, \le. [/mm] Aber in meinem Skript steht auch zu einer Nebenbedingung mit =, dass es sich um eine kompakte Menge handelt. Okay, ich muss ja ohnehin auf dem Rand untersuchen, aber stimmt es dass es dann auch eine kompakte Menge ist?
Wir haben zB eine Funktion: [mm] f(x,y)=3-x^2+2x-y^2-4y [/mm] und ich soll die Extrema bestimmen.
Ich finde heraus dass meine einzige Nullstelle in (1,-2) liegen muss.
Angeblich kann ich mir nun die Hessematrix ersparen und gehe ohne Ableitungen mit der quadratischen Ergänzung vor:
[mm] 3-(x^2-2x+1)-(y^2+4y+4)+1+4 [/mm] und kann sagen:
[mm] 8-(x-1)^1-(y+2)^2 [/mm] ist immer größer 0, also habe ich hiermit eine globale Maximalstelle gefunden.
Ich wäre nun mit Hessematrix drangegangen. Ich verstehe nicht wie man ohne 2. Ableitungen nun Aussagen über Extrema machen darf.
Lieben Dank!
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> Das bedeutet doch alles, dass ich die Hessematrix nur dann
> brauche, wenn ich keine Nebenbedingung habe, richtig?
Hallo,
wenn Du eine Nebenbedingung mit [mm] \le [/mm] oder [mm] \ge [/mm] hast, arbeitest Du auch mit der Hessematrix.
Du untersuchst dann zuerst "normal" mit Hessematrix und dann anschließend den Rand.
> Denn
> dann würde ich ja nur die stationären Punkte berechnen,
Aber bei denen interessiert Dich doch auch, ob's Maxima oder Minima sind.
> dann auf dem Rand schauen und alle meine Punkte vergleichen
> oder?
Dann schaust Du auf den Rand und vergleichst alle gefundenen Extrema und guckst, wo das globale ist.
>
> Und: Wir haben gesagt, dass man nur bei kompakten Mengen
> eine Randuntersuchung macht, also bei [mm]\ge, \le.[/mm] Aber in
> meinem Skript steht auch zu einer Nebenbedingung mit =,
> dass es sich um eine kompakte Menge handelt. Okay, ich muss
> ja ohnehin auf dem Rand untersuchen, aber stimmt es dass es
> dann auch eine kompakte Menge ist?
Oh, das kommt wirklich auf die Menge drauf an.
Eine Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Kompakt ist das Innere eines Kreises inkl. Rand.
Kompakt ist der Kreisrand.
Nicht kompakt ist das Innnere des Kreises ohne Rand.
Nicht kompakt ist die Menge, die außerhalb des Kreises liegt.
Kompakt ist aber interessant: stetige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen ihr Minimum und maximum an, und wenn Du nun über dem Kreisrand zwei kritische Punkte hast, kann es gar nicht anders sein, als daß einer das Max. und einer das Min. über dem Kreisrand ist.
>
> Wir haben zB eine Funktion: [mm]f(x,y)=3-x^2+2x-y^2-4y[/mm] und ich
> soll die Extrema bestimmen.
>
> Ich finde heraus dass meine einzige Nullstelle in (1,-2)
> liegen muss.
>
> Angeblich kann ich mir nun die Hessematrix ersparen und
> gehe ohne Ableitungen mit der quadratischen Ergänzung vor:
Ja, das ist das, was ich Dir eben an anderer Stelle vorgemacht habe.
f(x,y)
> [mm]3-(x^2-2x+1)-(y^2+4y+4)+1+4[/mm] und kann sagen:
> [mm]8-(x-1)^2-(y+2)^2[/mm]
> ist immer größer 0,
Quatsch! f(x,y) ist immer kleiner als 8, weil die quadrate ja immer [mm] \ge [/mm] 0 sind, also immer etwas von 8 subtrahiert wird.
Im Punkt (1,-2) hat die Funktion f den Funktionswert 8.
Also ist damit das globale Maximum gefunden, denn einen größeren Funktionswert kann es ja nicht geben. Die Funktion kann nicht ins Unendliche abdüsen oder sowas.
> also habe ich
> hiermit eine globale Maximalstelle gefunden.
>
> Ich wäre nun mit Hessematrix drangegangen.
Das wäre aber doch kein Fehler gewesen! Du kommst damit auch aufs richtige Ergebnis.
Und da Du zur Bestimmung der kritischen Punkte die ersten Ableitungen eh schon hattest, wäre es hier auch kein großer zeitlicher Verlust.
> Ich verstehe
> nicht wie man ohne 2. Ableitungen nun Aussagen über Extrema
> machen darf.
Weil man es mit dem entsprechenden Blick sofort sieht und schlüssig begründen kann.
Gruß v. Angela
>
> Lieben Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 03.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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