Extrema unter NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] f:R^2 \to [/mm] R gegeben durch [mm] f(x,y)=4x^2-3xy. [/mm] Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von f auf [mm] \{(x,y) | x^2+y^2\le1 \} [/mm] |
Hallo!
Um die obige Aufgabe zu lösen hab ich mich folgende Strategie zurecht gelegt:
i) lokale Extrema im Inneren der Menge bestimmen
ii) Extrema auf dem Rand also unter der NB [mm] x^2+y^2=1 [/mm] bestimmen.
zu i)
Dafür habe ich die partiellen Ableitungen Null gesetzt, also
f'_{x}(x,y)=8x-3y; f'_{y}(x,y)=-3x; [mm] f''_{x^2}(x,y)=8; [/mm] f''_{xy}(x,y)=-3; [mm] f''_{y^2}(x,y)=0
[/mm]
notwendiges Kriterium: f'(x,y)=0
8x-3y=0 und -3x=0 [mm] \rightarrow [/mm] mögliches Extremum in (0,0)
(0,0) liegt auch im inneren da es die [mm] x^2+y^2\el1 [/mm] erfüllt.
hinreichendes Kriterium:
[mm] H_{f}(0,0)=\pmat{ 8 & -3 \\ -3 & 0 } [/mm] hier hab ich jetzt ein Problem, denn bei dieser Art von Hessematrix kann ich nicht sagen ob es ein Minimum oder Maximum ist, oder doch?
zu ii)
[mm] f(x,y)=4x^2-3xy [/mm] und NB: [mm] x^2+y^2=1 \gdw y=\pm\wurzel{1-x^2}
[/mm]
für [mm] y=+\wurzel{1-x^2}
[/mm]
[mm] f(x)=4x^2-3x\wurzel{1-x^2}
[/mm]
[mm] f'(x)=8x-3\wurzel{1-x^2}-\bruch{3x}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
bevor ich jetzt versuche dieses "Monstum" gleich 0 zu setzen, möchte ich doch erstmal wissen, ob ich hier auf dem richtigen Dampfer bin.
DANKE für Eure Hilfe
Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:R^2 \to[/mm] R gegeben durch [mm]f(x,y)=4x^2-3xy.[/mm] Bestimmen
> Sie die lokalen und globalen Extrema von f auf [mm]\{(x,y) | x^2+y^2\le1 \}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Um die obige Aufgabe zu lösen hab ich mich folgende
> Strategie zurecht gelegt:
> i) lokale Extrema im Inneren der Menge bestimmen
> ii) Extrema auf dem Rand also unter der NB [mm]x^2+y^2=1[/mm]
> bestimmen.
>
> zu i)
> Dafür habe ich die partiellen Ableitungen Null gesetzt,
> also
> f'_{x}(x,y)=8x-3y; f'_{y}(x,y)=-3x; [mm]f''_{x^2}(x,y)=8;[/mm]
> f''_{xy}(x,y)=-3; [mm]f''_{y^2}(x,y)=0[/mm]
>
> notwendiges Kriterium: f'(x,y)=0
> 8x-3y=0 und -3x=0 [mm]\rightarrow[/mm] mögliches Extremum in
> (0,0)
> (0,0) liegt auch im inneren da es die [mm]x^2+y^2\el1[/mm]
> erfüllt.
>
> hinreichendes Kriterium:
> [mm]H_{f}(0,0)=\pmat{ 8 & -3 \\ -3 & 0 }[/mm] hier hab ich jetzt
> ein Problem, denn bei dieser Art von Hessematrix kann ich
> nicht sagen ob es ein Minimum oder Maximum ist, oder doch?
>
die Matrix ist indefinit !
>
> zu ii)
> [mm]f(x,y)=4x^2-3xy[/mm] und NB: [mm]x^2+y^2=1 \gdw y=\pm\wurzel{1-x^2}[/mm]
>
> für [mm]y=+\wurzel{1-x^2}[/mm]
> [mm]f(x)=4x^2-3x\wurzel{1-x^2}[/mm]
> [mm]f'(x)=8x-3\wurzel{1-x^2}-\bruch{3x}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
>
> bevor ich jetzt versuche dieses "Monstum" gleich 0 zu
> setzen, möchte ich doch erstmal wissen, ob ich hier auf
> dem richtigen Dampfer bin.
na Ja, einfacher geht's mit der Multiplikatoren - Regel von Lagrange
fred
>
> DANKE für Eure Hilfe
> Susi
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Erstmal vielen lieben Dank für den Tipp mit Lagrange!
Ist mein Ansatz dann damit soweit okay?
[mm] f(x,y)=4x^2-3xy
[/mm]
[mm] g(x,y)=x^2+y^2-1
[/mm]
[mm] L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda*g(x,y)
[/mm]
[mm] L(x,y,\lambda)=4x^2-3xy+\lambda(x^2+y^2-1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x} [/mm] = [mm] 8x-3y+2\lambda*x [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial L}{\partial y} [/mm] = [mm] -3x-2\lambda*y [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x }= x^2+y^2-1 [/mm] = 0
Dieses Gleichungssystem muss ich jetzt nur noch möglichst geschickt lösen und ich bekomme meine kritischen Punkte. Aber welcher Ansatz ist hier der geschickteste ohne sich in endlosen Umformungen zu verstricken? Habt ihr da einen kleinen Tipp?
LG Susi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Fr 13.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen lieben Dank für den Tipp mit Lagrange!
>
> Ist mein Ansatz dann damit soweit okay?
>
> [mm]f(x,y)=4x^2-3xy[/mm]
> [mm]g(x,y)=x^2+y^2-1[/mm]
>
> [mm]L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda*g(x,y)[/mm]
> [mm]L(x,y,\lambda)=4x^2-3xy+\lambda(x^2+y^2-1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial x}[/mm] = [mm]8x-3y+2\lambda*x[/mm] = 0
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}[/mm] = [mm]-3x-2\lambda*y[/mm] = 0
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial x }= x^2+y^2-1[/mm] = 0
>
> Dieses Gleichungssystem muss ich jetzt nur noch möglichst
> geschickt lösen und ich bekomme meine kritischen Punkte.
> Aber welcher Ansatz ist hier der geschickteste ohne sich in
> endlosen Umformungen zu verstricken? Habt ihr da einen
> kleinen Tipp?
Na, ja. So schlimm wirds nicht, enn Du die Gleichung
$ [mm] -3x-2\lambda\cdot{}y [/mm] = 0$
nach x auflöst.
FRED
>
> LG Susi
>
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Okay, machbar ist es aber es kommt irgendwie nur Murks raus :-(
(1) [mm] 8x-3y+2\lambda*x=0
[/mm]
(2) [mm] -3x+2\lambda*y=0
[/mm]
(3) [mm] x^2+y^2-1=0
[/mm]
(2) [mm] x=\bruch{2}{3}\lambda*y
[/mm]
(2) in (1) eingesetzt:
[mm] 8(\bruch{2}{3}\lambda*y)-3y+2\lambda(\bruch{2}{3}\lambda*y)=0
[/mm]
[mm] \bruch{16}{3}\lambda*y-3y+\bruch{4}{3}\lambda^2*y=0
[/mm]
[mm] y*(\bruch{16}{3}\lambda*-3+\bruch{4}{3}\lambda^2)=0
[/mm]
y=0 [mm] (\lambda_{1}=-4,5; \lambda_{2}=0,5) [/mm] und somit aus (2) x=0
aber das widerspricht sich mit (3) [mm] x^2+y^2-1=0 [/mm] :-(
Was kann ich da machen oder sehe ich meien Rechenfehler vor lauter Zahlen nicht?
LG Susi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Fr 13.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Okay, machbar ist es aber es kommt irgendwie nur Murks raus
> :-(
>
> (1) [mm]8x-3y+2\lambda*x=0[/mm]
> (2) [mm]-3x+2\lambda*y=0[/mm]
> (3) [mm]x^2+y^2-1=0[/mm]
>
> (2) [mm]x=\bruch{2}{3}\lambda*y[/mm]
>
> (2) in (1) eingesetzt:
>
> [mm]8(\bruch{2}{3}\lambda*y)-3y+2\lambda(\bruch{2}{3}\lambda*y)=0[/mm]
> [mm]\bruch{16}{3}\lambda*y-3y+\bruch{4}{3}\lambda^2*y=0[/mm]
> [mm]y*(\bruch{16}{3}\lambda*-3+\bruch{4}{3}\lambda^2)=0[/mm]
> y=0 [mm](\lambda_{1}=-4,5; \lambda_{2}=0,5)[/mm] und somit aus (2)
> x=0
>
> aber das widerspricht sich mit (3) [mm]x^2+y^2-1=0[/mm] :-(
>
> Was kann ich da machen
Rechne mit den gefundenen Werten von [mm] \lambda [/mm] weiter
FRED
> oder sehe ich meien Rechenfehler vor
> lauter Zahlen nicht?
>
> LG Susi
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Ach ja, die Möglichkeit habe ich ja auch noch. Da kann ich dann einfach sagen, dass y=0 keine Lösung des Gleichungssystems ist weil es mit x=0 aus (2), (3) nicht erfüllt.
Rechne ich mit [mm] \lambda [/mm] weiter, so gilt:
Für [mm] \lambda_{1}=-4,5:
[/mm]
aus (2) [mm] \bruch{2}{3}*(-4,5)*y=x \gdw [/mm] x=-3y
in (3) [mm] (-3y)^2+y^2-1=0 \rightarrow y=\pm\bruch{1}{\wurzel{10}}
[/mm]
Für [mm] \lambda_{1}=-4,5 [/mm] und [mm] y=\bruch{1}{\wurzel{10}}
[/mm]
möglicher Extrempunkt in [mm] a:=(-\bruch{3}{\wurzel{10}},\bruch{1}{\wurzel{10}})
[/mm]
Für [mm] \lambda_{1}=-4,5 [/mm] und [mm] y=-\bruch{1}{\wurzel{10}}
[/mm]
möglicher Extrempunkt in [mm] b:=(\bruch{3}{\wurzel{10}},-\bruch{1}{\wurzel{10}})
[/mm]
Für [mm] \lambda_{2}:
[/mm]
aus (2) [mm] \bruch{2}{3}*(0,5)*y=x \gdw x=\brch{1}{3}y
[/mm]
in (3) [mm] (-3y)^2+y^2-1=0 \rightarrow y=\pm\bruch{3}{\wurzel{10}}
[/mm]
Für [mm] \lambda_{2}=0,5 [/mm] und [mm] y=-\bruch{3}{\wurzel{10}}
[/mm]
möglicher Extrempunkt in [mm] c:=(-\bruch{1}{\wurzel{10}},-\bruch{3}{\wurzel{10}})
[/mm]
Für [mm] \lambda_{2}=0,5 [/mm] und [mm] y=\bruch{3}{\wurzel{10}}
[/mm]
möglicher Extrempunkt in [mm] d:=(\bruch{1}{\wurzel{10}},\bruch{3}{\wurzel{10}})
[/mm]
Diese mögli. Extrema erfüllen die Gleichungen und liegen somit auf dem Rand. Außerdem gilt f(a)=f(b)=4,5 und f(c)=f(d)=0,5.
Kann ich hier aus der Kompaktheit und der Stetigkeit schließen, dass ich ein Maximum in a und b und ein Minimum in c und d habe?
Damit wäre die Aufgabe doch dann erledigt oder fehlt noch was grundlegendes?
LG Susi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Fr 13.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ach ja, die Möglichkeit habe ich ja auch noch. Da kann ich
> dann einfach sagen, dass y=0 keine Lösung des
> Gleichungssystems ist weil es mit x=0 aus (2), (3) nicht
> erfüllt.
>
> Rechne ich mit [mm]\lambda[/mm] weiter, so gilt:
>
> Für [mm]\lambda_{1}=-4,5:[/mm]
> aus (2) [mm]\bruch{2}{3}*(-4,5)*y=x \gdw[/mm] x=-3y
> in (3) [mm](-3y)^2+y^2-1=0 \rightarrow y=\pm\bruch{1}{\wurzel{10}}[/mm]
>
> Für [mm]\lambda_{1}=-4,5[/mm] und [mm]y=\bruch{1}{\wurzel{10}}[/mm]
> möglicher Extrempunkt in
> [mm]a:=(-\bruch{3}{\wurzel{10}},\bruch{1}{\wurzel{10}})[/mm]
>
> Für [mm]\lambda_{1}=-4,5[/mm] und [mm]y=-\bruch{1}{\wurzel{10}}[/mm]
> möglicher Extrempunkt in
> [mm]b:=(\bruch{3}{\wurzel{10}},-\bruch{1}{\wurzel{10}})[/mm]
>
>
>
> Für [mm]\lambda_{2}:[/mm]
> aus (2) [mm]\bruch{2}{3}*(0,5)*y=x \gdw x=\brch{1}{3}y[/mm]
> in (3)
> [mm](-3y)^2+y^2-1=0 \rightarrow y=\pm\bruch{3}{\wurzel{10}}[/mm]
>
> Für [mm]\lambda_{2}=0,5[/mm] und [mm]y=-\bruch{3}{\wurzel{10}}[/mm]
> möglicher Extrempunkt in
> [mm]c:=(-\bruch{1}{\wurzel{10}},-\bruch{3}{\wurzel{10}})[/mm]
>
> Für [mm]\lambda_{2}=0,5[/mm] und [mm]y=\bruch{3}{\wurzel{10}}[/mm]
> möglicher Extrempunkt in
> [mm]d:=(\bruch{1}{\wurzel{10}},\bruch{3}{\wurzel{10}})[/mm]
>
> Diese mögli. Extrema erfüllen die Gleichungen und liegen
> somit auf dem Rand. Außerdem gilt f(a)=f(b)=4,5 und
> f(c)=f(d)=0,5.
>
> Kann ich hier aus der Kompaktheit und der Stetigkeit
> schließen, dass ich ein Maximum in a und b und ein Minimum
> in c und d habe?
>
> Damit wäre die Aufgabe doch dann erledigt oder fehlt noch
> was grundlegendes?
>
alles bestens
fred
> LG Susi
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