Extrema (unter Nebenbedingung) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
um lokale Extrema bei einer Funktion von [mm] $\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR$ [/mm] zu finden, muss man ja (wenn x,y die Variablen sind) die partiellen Ableitungen nach x und y bilden. Dann müssen beide Null sein.
Jetzt habe ich hier zB die beiden partiellen Ableitungen
[mm] $\partial [/mm] f/ [mm] \partial x=4x^3+6xy^2-4x$ [/mm] und
[mm] $\partial [/mm] f / [mm] \partial y=6x^2y+8y^3-6y$
[/mm]
Jetzt müssen ja beide gleichzeitig Null sein. Geht das Auflösen des Gleichungssystems jetzt irgendwie "einfach", oder muss ich wirklich eine Gleichung nach x odre y Auflösen, und dann einsetzen? Eine andere Möglichkeit sehe ich gerade nicht =(
Und jetzt zur Nebenbedingung: Wenn ich Eine Nebenbedingung wie [mm] $x^2+y^2=1$; [/mm] also Kreislinie gegeben habe, und auf der lokale Extrema suchen soll, dann gibts ja die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Dann leite ich die Nebenbedingung auch nach x ab, und sage dann beispeilsweise, dass [mm]\partial f / \partial x=\lambda \partial g/\partial x [/mm], wenn g meine Nebenbedingung ist. Das selbe mit y, dann das System lösen.
Was aber, wenn ich auf dem ganzen Kreis suchen soll, also zB [mm] $x^2+y^2<=1$ [/mm] gegeben ist.
Dann ist ja meine NB [mm] $x^2+y^2-1<=0$. [/mm] Was aber mache ich dann?!
LG
Kroni
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Hallo
Also zu deiner ersten Frage. Man kann folgendes machen:
1. Gleichung: [mm] x(4*x^{2}+6*y^{2}-4)=0
[/mm]
2. Gleichung: [mm] y(6*x^{2}+8*y^{2}-6)=0
[/mm]
Nun ist ja eine Gleichung Null, wenn ein Faktor Null ist und somit bekommst du verschiedene Kandidaten für eine Extremstelle.
Zum zweiten Problem kann ich dir noch nichts schreiben, haben es selber erst gerade.
Gruß
Woodstock
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für deine Antwort...jetzt sind die Ergebnisse für mögliche Extrema auch plausibel =) Danke für den Hinweis =)
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Fr 27.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
i.A. sind Nebenbedingungen nicht als Ungleichungen gegeben. Wenn doch suchst du einfach Extrema der fkt f(x,y) und siehst nach, ob sie im inneren des Gebietes liegen, Randmax suchst du mit Lagrange.
Die Idee maxima mit nebenbedingungen zu finden stell ich mir immer so vor: ich geh in dem Gebirge mit der Höhenfkt h=f(x,y) wandern. a) will ich den höchsten und tiefsten Punkt des Gebirges wissen, also Gipfel usw. aber eigentlich bin ich an dem höchsten und tiefsten Pkt meines Wanderweges, der Nebenbedingung , interessiert. Mit deiner Nebenbed. offensichtlich auch noch an den "Gipfeln und Tälern innerhalb meines Rundwegs!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Fr 27.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
i.A. sind Nebenbedingungen nicht als Ungleichungen gegeben. Wenn doch suchst du einfach Extrema der fkt f(x,y) und siehst nach, ob sie im inneren des Gebietes liegen, Randmax suchst du mit Lagrange.
Die Idee maxima mit nebenbedingungen zu finden stell ich mir immer so vor: ich geh in dem Gebirge mit der Höhenfkt h=f(x,y) wandern. a) will ich den höchsten und tiefsten Punkt des Gebirges wissen, also Gipfel usw. aber eigentlich bin ich an dem höchsten und tiefsten Pkt meines Wanderweges, der Nebenbedingung , interessiert. Mit deiner Nebenbed. offensichtlich auch noch an den "Gipfeln und Tälern innerhalb meines Rundwegs!
hier übrigens noch ein sehr nettes applet dazu:
![[]](/images/popup.gif) Lagrange
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für deine Antwort. Diese Vorstellung teile ich mit dir. Das ist auch die einzige, mit der ich mir das ganze Veranschaulichen kann =)
Okay, das mit der Ungleichung und dann einfach gucken, ist auch eine gute Idee =) Dann werde ich das mal so direkt anwenden. Weil Lagrange hatten wir bisher auch immer nur eine Gleichung als Nebenbedingung, deshalb wusste ich nicht, wie mans mit Lagrange anwenden solle...
Danke für deine Antwort =)
LG
Kroni
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