Extrema unter Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 So 20.06.2010 | | Autor: | Wredi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Maxima und Minima der Funktion f(x,y) = [mm] 5x^2-4xy [/mm] auf der Menge B= [mm] \bar {B_2(0)} [/mm] [also der Abschluss des Kreises].
HINWEIS:
Bestimmen Sie zuerst die Extrema in [mm] B_2(0) [/mm] und dann die Extrema unter Nebenbedingung auf [mm] S_2(0). [/mm] |
Hi,
ich habe mich mit der obigen Aufgabe beschäftigt und mich am Hinweis orientiert. Ich habe daraufhin erstmal nach allgemeinen Extrema auf dem gesamten Definitionsbereich gesucht. Es ergab sich eine verdächtige Stelle bei E(0,0), was aber kein Extremum ist, da die Hessematrix Eigenwerte mit unterscheidlichem Vorzeichen hat.
Nun muss ich noch den Rand, also [mm] S_2(0), [/mm] untersuchen. Das bereitet mir jetzt einige Probleme.
Ich habe die Lagrange-Hilfsfunktion aufgestellt:
[mm] S_2(0) [/mm] = [mm] \left\{(x,y)\in\IR^2 | x^2+y^2=4\right\}
[/mm]
[mm] L(x,y,\lambda)=5x^2-4xy+\lambda(x^2+y^2-4)
[/mm]
Nun untersuche L auf Extrema:
I: [mm] $\frac{\partial L}{\partial x} [/mm] = [mm] 10x-4y+2\lambda [/mm] x=0$
II: [mm] $\frac{\partial L}{\partial y} [/mm] = [mm] -4x+2\lambda [/mm] y=0$
III: [mm] $\frac{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = [mm] x^2+y^2-4=0$
[/mm]
Das gleichungssystem muss man ja nun lösen, aber da komme ich auf ganz unbequeme werte was mich rästeln lässt. habe ich vielleicht einen rechenfehler bis hierhin?
ich habe nun $y [mm] \cdot [/mm] I [mm] -x\cdot [/mm] II$ gerechnet erhalte damit:
IV: [mm] $0=10xy-4y^2+4x^2=x^2+\frac{5}{2}xy-y^2$
[/mm]
Nun: $III - IV$:
V: [mm] $0=2x^2+\frac{5}{2}xy-4$
[/mm]
Daraus erhält man die Lösungen:
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{5}{8} \pm \sqrt{\frac{25\cdot y^2}{64}+2}$
[/mm]
Das ist zum Weiterrechnen echt eklig. Daher gehe ich davon aus, dass ich einen technsichen oder konzeptionellen Fehler gemacht habe.
Vielen Dank für Eure Hilfe.
MfG
Wredi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 So 20.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne [mm] \lambda [/mm] aus II aus. Setze in I ein, ersetze dann y durch III. du krigst ne biquadratische Gl in x
ich seh grad, der erste Teil ist deine Gl IV
in deine Gl IV direkt y aus III einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 So 20.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> Hallo
> rechne [mm]\lambda[/mm] aus II aus. Setze in I ein, ersetze dann y
> durch III. du krigst ne biquadratische Gl in x
> ich seh grad, der erste Teil ist deine Gl IV
> in deine Gl IV direkt y aus III einsetzen.
> Gruss leduart
aber wenn ich nach y umstelle, dann habe ich doch ein problem, das die Randpunkte der entstehenden funktion wegfallen. gibt es nicht einen weg, mit dem ich diese "Verluste" vermeide?
meine Gleichung (II nach Lambda umstellen, in I einsetzen, III nach y umstellen, in I einsetzen) sieht jetzt folgendermaßen aus:
[mm] $10x-4\sqrt{-x^2+4}+\frac{4x^2}{\sqrt{-x^2+4}}=0$
[/mm]
wi ist da jetzt die biquadratische Gleichung, ich seh sie nicht.
MfG Wredi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 20.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du von $ [mm] 0=10xy-4y^2+4x^2=$ [/mm] auf deine Gl. kommst in der [mm] y^2 [/mm] im Nenner steht seh ich nicht [mm] y=\wurzel{4-x^2} [/mm] eingesetzt
ergibt doch:
$ [mm] 0=10x*\wurzel{4-x^2}-4(4-x^2)+4x^2 [/mm] $
Ausdruck mit wurzel auf eine Seite, quadrieren ...
Am Ende überprüfen, weil beim Quadrieren zusätzliche Lösungen entstehen können
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 So 20.06.2010 | | Autor: | Wredi |
ja, das mit dem [mm] y^2 [/mm] im nenner, war ein eingabefehler, das steht schon in der wurzel.
MfG
Wredi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 20.06.2010 | | Autor: | Wredi |
hi,
ich hab das jetzt gemacht.
[mm] $10x-\frac{-8x^2-16}{sqrt{-x^2+4}}=0$
[/mm]
durch sortieren und quadrieren folgt:
[mm] $(8x^2+16)^2=100x^2 \cdot (-x^2+4)$
[/mm]
[mm] $\Leftarrow 164x^4-144x^2+256=0$
[/mm]
wenn ich das jetzt aber ausrechne erhalte ich aber keine lösung. müsste da aber nicht etwas rauskmmen?
MfG
Wredi
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Hallo Wredi,
> hi,
>
> ich hab das jetzt gemacht.
>
> [mm]10x-\frac{-8x^2-16}{sqrt{-x^2+4}}=0[/mm]
Die Gleichung muß doch
[mm]10x-\frac{\red{+}8x^2-16}{\wurzel{-x^2+4}}=0[/mm]
lauten.
>
> durch sortieren und quadrieren folgt:
> [mm](8x^2+16)^2=100x^2 \cdot (-x^2+4)[/mm]
Analog dann hier:
[mm](8x^2\red{-}16)^2=100x^2 \cdot (-x^2+4)[/mm]
>
> [mm]\Leftarrow 164x^4-144x^2+256=0[/mm]
>
> wenn ich das jetzt aber ausrechne erhalte ich aber keine
> lösung. müsste da aber nicht etwas rauskmmen?
>
> MfG
> Wredi
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 20.06.2010 | | Autor: | Wredi |
Vielen dank.
ich habe dann als Lösungen:
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \sqrt{2+\frac{10}{\sqrt{41}}}$
[/mm]
[mm] $x_{3,4} [/mm] = [mm] \sqrt{2-\frac{10}{\sqrt{41}}}$
[/mm]
gibt es eine möglichkeit diese zu prüfen?
MfG Wredi
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Hallo Wredi,
> Vielen dank.
>
> ich habe dann als Lösungen:
>
> [mm]x_{1,2} = \sqrt{2+\frac{10}{\sqrt{41}}}[/mm]
> [mm]x_{3,4} = \sqrt{2-\frac{10}{\sqrt{41}}}[/mm]
Korrekterweise muss es lauten:
[mm]x_{1,2} = \pm \sqrt{2+\frac{10}{\sqrt{41}}}[/mm]
[mm]x_{3,4} =\pm \sqrt{2-\frac{10}{\sqrt{41}}}[/mm]
>
> gibt es eine möglichkeit diese zu prüfen?
Aus [mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda}=0[/mm] bekommst Du
die zugehörigen y-Werte.
Dann müssen die Gleichungen[mm]\bruch{\partial L}{\partial x}=0[/mm]
und [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}=0[/mm] dasselbe [mm]\lambda[/mm] liefern.
> MfG Wredi
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 So 20.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) ich hab dasselbe, b) prüfen durch einsetzen, mit dem TR geht das schnell.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 So 20.06.2010 | | Autor: | Wredi |
gehört zwar weniger hierher, aber:
kann man sowas auch mit nem 3D-Plotter zeichnen? also eine Funktion auf die Einschränkung eines Kreises?
und wenn ja: welches?
Vielen Dank
MfG Wredi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 So 20.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sobald du die fkt auf den Kreis einschränkst ist sie doch nur noch 2d. da reicht jeder funktionsplotter, du hast doch f(x)=0 und kannst f(x) zeichnen?
oder was willst du zeichnen?
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:21 So 20.06.2010 | | Autor: | Wredi |
naja, ich dachte mir, dass ich diese kurve die sich dann ergibt so im raum halt sehe, wie die kurze auf dem kreis liegt.
ich schneide sozusagen aus meiner 3D-Fläche die kreislinie aus und sehe dann nur noch die EInschränkung über dem Kreis in der x-y-Ebene.
ich hoffe, du weißt, was ich meine.
MfG
Wredi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Di 22.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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