Extrema unter Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Fr 27.07.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo.
Zum Thema Langrangemultiplikatoren:
Gegeben sei eine Funktion in "n" Variablen. Warum muß die Anzahl "m" der Nebenbedingungen kleiner als die Anzahl der Variablen "n" sein. Also m < n?
Kann mir das bitte jemand begründen?
LG
Takota
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 28.07.2018 | | Autor: | Takota |
...weiter Fragen zu dem Thema:
Der Satz in meinem Lehrbuch (ohne Beweis angegeben), faßt die k Nebenbedingungen in einem Vektor [mm] $\vec [/mm] g$ zusammen.
Dann wird der Rang der Funktionalmatrix von [mm] $\vec [/mm] g$ erwähnt, dieser soll maximal gleich k sein.
Frage: Warum wird das benötigt, ich versteht den Sinn dahinter nicht?
Immer wieder lese ich von dem Begriff "Funktional". Was bedeutet das, z.B., wenn es heißt Lagrangefunktional, Exponentialfunktional oder Funktionalmatrix. Kann mir das jemand bitte erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Di 31.07.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht liest du mal über "Funktional" in wiki nach, und stellst dann Fragen, wenn was nicht klar ist.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Di 31.07.2018 | | Autor: | meili |
Hallo Takota,
die Nebenbedingungen tauchen in dem zu lösenden Gleichungssystem
(als Ableitung nach dem jeweiligen Lagrangemultiplikator) wieder auf.
Wenn man da nun mehr als n Gleichungen mit n Variablen hat, kommt es
entweder zu Widersprüchen und die Lösungsmenge ist leer oder Gleichungen
sind von einander abhängig und man kann dann die Anzahl der
Nebenbedingungen reduzieren für das gleiche Ergebnis.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 31.07.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo meili, danke für die Rückmeldung.
In diesem Video wird der Lagrangemultiplikator erklärt:
https://www.youtube.com/watch?v=Q8MbiUE-nho
Das Beispiel im Video habe ich mal aufgegriffen und mit Nebenbedingungen g1 und g2 erweitert, um deine Aussage besser nachvollziehen zu können. Also Beispiel:
$f(x,y) = [mm] x^2+y^2$
[/mm]
[mm] $g_1(x,y) [/mm] = x+1-y ; [mm] \quad g_2(x,y) [/mm] = 1-x-y ; [mm] \quad g_3(x,y) [/mm] = y+1$
[mm] g_2 [/mm] ist eine Spiegelung von [mm] g_1 [/mm] an der y-Achse und [mm] g_3 [/mm] läuft unterhalb der x-Achse parallel. Zusammen bilden die Geraden ein Dreieck in der xy-Ebene.
n:= Anzahl der Variablen ; m:= Anzahl der Nebenbedingungen
Fall 1) n = 2 und m = 1 somit m < n
Wenn ich nur [mm] g_1 [/mm] als Nebenbedingung zulasse, dann kommt das Ergebniss x = -0,5 ; y = 0,5 wie im Video raus.
Fall 2) n = 2 und m = 2 somit m = n
Wenn [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] gelten sollen, dann kommt x = 0 ; y = 1 raus. Das ist auch der Schnittpunkt der zwei Geraden auf der y-Achse. Hierzu eine Frage: Die Gradienten von [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] stehen hier nicht senkrecht auf der Höhenlinie von f, wohl aber die Resultierende von [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2. [/mm] Somit wäre das auch ein mögliches Extremum - ist diese Überlegung richtig?
Fall 3) n = 2 und m = 3 somit m > n
Rechnung:
[mm] $L(x,y,\lambda_1, \lambda_2) [/mm] = [mm] x^2+y^2+\lambda_1(x+1-y)+\lambda_2(1-x-y)+\lambda_3(y+1)$
[/mm]
[mm] $L_x [/mm] = [mm] 2x+\lambda_1-\lambda_2 [/mm] = 0$
[mm] $L_y [/mm] = [mm] 2y-\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3 [/mm] = 0$
[mm] $L_\lambda_1=x+1-y [/mm] = 0$
[mm] $L_\lambda_2 [/mm] = 1-x-y =0$
[mm] $L_\lambda_3=y+1=0$
[/mm]
Gleichungssystem:
[mm] \begin{matrix}
2x & +0 & +\lambda_1 & -\lambda_2 & +0 & =0 \\
0 & 2y & -\lambda_1 & -\lambda_2 & +\lambda_3 & =0 \\
x & -y & +0 & +0 & +0 & =-1\\
-x & -y & +0 & +0 & +0 & =-1\\
0 & +y & +0 & +0 & +0 & =-1\\
\end{matrix}
[/mm]
Wenn ich dieses System löse, kommt ein Widerspruch in Zeile 5 raus.
War das so gemeint?
Du hast ja erwähnt, das es einen Widerspruch (Lösungsmenge ist leer) gibt oder daß die Gleichungen von einander abhängig sind.
Frage, warum kann es nicht doch noch eine Lösung geben (als 3. Möglichkeit)? Kannst Du mir bitte das an diesem Beispiel zeigen, wie du auf Deine Schlußfolgerung gekommen bist?
LG
Takota
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 31.07.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du richtig gesehen hat man bei m=n=2 nur noch einen Punkt derbeide Bedingungen erfüllt. also keinen grad mehr. der Wert von [mm] x^2+y^2 [/mm] ist dann 1 aber wieso ist das maximal?
bei n=2, m=3 hast du keine Lösung mehr, weil keiner der 3 Eckpunkte alle Bedingungen erfüllt.
bei m=n=2 kannst du als Nebenbedingungen nätürlich [mm] g_2(x)=2x+2-2y [/mm] haben, d.h. [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] sind linear abhängig. so dass die exakte aussage ist: m<n wenn die Bedingungen nicht linear abhängig sind.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Mi 01.08.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo leduart,
a)
Fall m=n=2.
"...keinen grad mehr." Meinst du damit, das es da keinen Gradienten mehr gib?
b)
"der Wert von $ [mm] x^2+y^2 [/mm] $ ist dann 1 aber wieso ist das maximal?"
Keine Ahnung. Leider habe ich momentan keine Mittel mir das graphisch zu plotten. Aber ich stelle mir das so vor: Die zwei Ebenen der Nebenbdingungen schneiden sich in einer Geraden (Schnittgeraden). Diese Gerade (die senkrecht auf der xy-Ebene steht) durchdringt die Funktion f an Stelle (0,1) in der xy-Ebene. Ich denke dieser Punkt ist dort unstetig? Aber wie das zu werten ist kann ich auch nicht beurteilen... Braucht man so einen Punkt nicht beachten? Kannst Du mir bitte dazu die Antwort geben?
c)
"so dass die exakte aussage ist: m<n wenn die Bedingungen nicht linear abhängig sind." Folgt mit dieser Aussage, daß der Rang der Funktionalmatrix max. gleich "k" ist. k ist die Anzahl der Nebenbedingungen und k < n. Wenn dann, z.B., der Rang < k ist, dann habe ich nur (Rang - k) lin. unabh. Gleichungen zur Verfügung? Die Ermittlung des Ranges dient wohl im Vorfeld zu prüfen, wieviel tatsächliche Nebenbedingungen vorhanden sind?
LG
Takota
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mi 01.08.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, ein Punkt hat keinen Gradienten!
eigentlich dachte ich es sei klar, dass es sinnlos ist vom Maximum einer Funktion in einem Punkt zu reden, in dem Punkt hat die Funktion einen Wert daneben kann sie tun was sie will.
dass m>n nicht geht ist mit den Bedingungen, die nicht alle erfüllbar sind klar, das mit den abhängigen funktionen muss man nicht untersuchen, da ja immer nur m<n Nebenbedingungen gegeben werden. da die nebenbed, nicht immer lineare fkt sein müssen ist auch Rang auszurechnen nicht sinnvoll. deshalb weiss ich nicht, was du mit der zweiten Frage meinst.
wie in deinem Beispiel etwa g1 auf 2 verschiedene Weisen zu schreiben, wird ja wohl nicht vorkommen!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mi 01.08.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo leduart
"da die nebenbed, nicht immer lineare fkt sein müssen ist auch Rang auszurechnen nicht sinnvoll. deshalb weiss ich nicht, was du mit der zweiten Frage meinst."
Ich habe mal einen Teil des Satzes abgeschrieben, wie es bei mir im Buch steht.
Satz
Sei [mm] n\varepsilon\IN [/mm] und f: [mm] \IR^n\supset [/mm] G [mm] \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge G. Weiter sei die Abbildung
[mm] $\vec [/mm] g:G [mm] \to \IR^k, \vec [/mm] x [mm] \mapsto \vektor{g_1(\vec x \\ g_2(\vec x \\ .\\ .\\ .\\ g_k(\vec x}$
[/mm]
für alle k [mm] \varepsilon \IN [/mm] mit k < n stetig differentierbar und der Rang der Funktionalmatrix im Punkt [mm] $\vec x_0 \varepsilon [/mm] G$
[mm] $\vec g'(\vec x_0)=\begin{bmatrix}
\bruch{\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & \bruch{\partial g_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \dots & \vdots \\
\bruch{\partial g_k}{\partial x_1} & \cdots & \bruch{\partial g_k}{\partial x_k}
\end{bmatrix}$
[/mm]
sei maximal gleich k. ...etc....
Warum braucht man diese Voraussetzung? Kannst Du mir das bitte erklären? Ist das überhaupt nötig?
LG
Takota
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 02.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart
>
> "da die nebenbed, nicht immer lineare fkt sein müssen ist
> auch Rang auszurechnen nicht sinnvoll. deshalb weiss ich
> nicht, was du mit der zweiten Frage meinst."
>
> Ich habe mal einen Teil des Satzes abgeschrieben, wie es
> bei mir im Buch steht.
>
> Satz
> Sei [mm]n\varepsilon\IN[/mm] und f: [mm]\IR^n\supset[/mm] G [mm]\to \IR[/mm] eine
> differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge G. Weiter
> sei die Abbildung
>
> [mm]\vec g:G \to \IR^k, \vec x \mapsto \vektor{g_1(\vec x \\ g_2(\vec x \\ .\\ .\\ .\\ g_k(\vec x}[/mm]
>
> für alle k [mm]\varepsilon \IN[/mm] mit k < n stetig
> differentierbar und der Rang der Funktionalmatrix im Punkt
> [mm]\vec x_0 \varepsilon G[/mm]
>
> [mm]$\vec g'(\vec x_0)=\begin{bmatrix}
\bruch{\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & \bruch{\partial g_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \dots & \vdots \\
\bruch{\partial g_k}{\partial x_1} & \cdots & \bruch{\partial g_k}{\partial x_k}
\end{bmatrix}$[/mm]
>
> sei maximal gleich k. ...etc....
>
> Warum braucht man diese Voraussetzung? Kannst Du mir das
> bitte erklären? Ist das überhaupt nötig?
Ja , nötig ist das, weil ohne diese Vor. die Aussage des Satzes falsch ist. Habt Ihr Beispiele und Gegenbeispiele in der Vorlesung gemacht ?
Desweiteren solltest Du Dir den Beweis des Satzes anschauen. Dann solltest Du feststellen, dass die Vor.
[mm] Rang(\vec g'(\vec x_0))=k [/mm] (welche gleichbedeutend ist mit [mm] \vec g'(\vec x_0) [/mm] invertierbar) dazu dient, den Satz über implizit definierte Funktionen anzuwenden. Da werden dann gewisse Gleichungen nach gewissen Variablen aufgelöst.
s
>
> LG
> Takota
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 01.08.2018 | | Autor: | meili |
Hallo Takota,
> Hallo meili, danke für die Rückmeldung.
>
> In diesem Video wird der Lagrangemultiplikator erklärt:
>
> https://www.youtube.com/watch?v=Q8MbiUE-nho
>
> Das Beispiel im Video habe ich mal aufgegriffen und mit
> Nebenbedingungen g1 und g2 erweitert, um deine Aussage
> besser nachvollziehen zu können. Also Beispiel:
>
> [mm]f(x,y) = x^2+y^2[/mm]
>
> [mm]g_1(x,y) = x+1-y ; \quad g_2(x,y) = 1-x-y ; \quad g_3(x,y) = y+1[/mm]
>
> [mm]g_2[/mm] ist eine Spiegelung von [mm]g_1[/mm] an der y-Achse und [mm]g_3[/mm]
> läuft unterhalb der x-Achse parallel. Zusammen bilden die
> Geraden ein Dreieck in der xy-Ebene.
>
> n:= Anzahl der Variablen ; m:= Anzahl der Nebenbedingungen
>
> Fall 1) n = 2 und m = 1 somit m < n
> Wenn ich nur [mm]g_1[/mm] als Nebenbedingung zulasse, dann kommt
> das Ergebniss x = -0,5 ; y = 0,5 wie im Video raus.
So weit so gut, und es funktioniert.
>
> Fall 2) n = 2 und m = 2 somit m = n
> Wenn [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2[/mm] gelten sollen, dann kommt x = 0 ; y = 1
> raus. Das ist auch der Schnittpunkt der zwei Geraden auf
> der y-Achse. Hierzu eine Frage: Die Gradienten von [mm]g_1[/mm] und
> [mm]g_2[/mm] stehen hier nicht senkrecht auf der Höhenlinie von f,
> wohl aber die Resultierende von [mm]g_1[/mm] und [mm]g_2.[/mm] Somit wäre
> das auch ein mögliches Extremum - ist diese Überlegung
> richtig?
Beide Nebenbedingungen sind nur in einem einzigen Punkt erfüllt.
Also bleibt nur die Funktion f in diesem Punkt zu betrachten.
Dafür braucht man keine Lagrange-Funktion.
Auch schon bei 2 Nebenbedingungen im [mm] $\IR^2$ [/mm] kann es vorkommen,
dass die Nebenbedingungen nicht gleichzeitig erfüllt sind (z.B. parallele
Geraden oder Funktionen einer Funktionsschar ohne gemeinsame Punkte)
>
> Fall 3) n = 2 und m = 3 somit m > n
>
> Rechnung:
>
> [mm]L(x,y,\lambda_1, \lambda_2) = x^2+y^2+\lambda_1(x+1-y)+\lambda_2(1-x-y)+\lambda_3(y+1)[/mm]
>
> [mm]L_x = 2x+\lambda_1-\lambda_2 = 0[/mm]
> [mm]L_y = 2y-\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3 = 0[/mm]
>
> [mm]L_\lambda_1=x+1-y = 0[/mm]
> [mm]L_\lambda_2 = 1-x-y =0[/mm]
>
> [mm]L_\lambda_3=y+1=0[/mm]
>
> Gleichungssystem:
>
> [mm]\begin{matrix}
2x & +0 & +\lambda_1 & -\lambda_2 & +0 & =0 \\
0 & 2y & -\lambda_1 & -\lambda_2 & +\lambda_3 & =0 \\
x & -y & +0 & +0 & +0 & =-1\\
-x & -y & +0 & +0 & +0 & =-1\\
0 & +y & +0 & +0 & +0 & =-1\\
\end{matrix}[/mm]
>
> Wenn ich dieses System löse, kommt ein Widerspruch in
> Zeile 5 raus.
>
> War das so gemeint?
Ja
> Du hast ja erwähnt, das es einen Widerspruch
> (Lösungsmenge ist leer) gibt oder daß die Gleichungen von
> einander abhängig sind.
> Frage, warum kann es nicht doch noch eine Lösung geben
> (als 3. Möglichkeit)? Kannst Du mir bitte das an diesem
> Beispiel zeigen, wie du auf Deine Schlußfolgerung gekommen
> bist?
Die 3 Geraden schneiden sich nicht in einem Punkt. Das wäre noch
eine Möglichkeit, wenn sie sich in einem Punkt schneiden, dass in diesem
Punkt alle 3 Nebenbedingungen erfüllt sind. Aber ein Maximum in nur einem
Punkt ist recht langweilig.
Wenn du merkst, dass du ein totes Pferd reitest, steig ab und begrab
es. Es lässt sich nicht wiederbeleben.
Bei der Lagrange-Multiplikatoren-Methode sind die Nebenbedingungen
Funktionen. Man geht davon aus, dass alle Nebenbedingeungen gleichzeitig
erfüllt sind. Wenn das schon zu leeren Mengen führt, hat man auch keinen
"Platz" für Extrema.
Falls man Bereiche betracheten will, die man durch mehrere Nebenbedingungen
als Ungleichungen beschreiben will, siehe ![[]](/images/popup.gif) Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
>
> LG
> Takota
>
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Do 02.08.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo ich habe noch eine weitere Frage zum Thema.
Es gilt die Beziehung:
Aus dem Video:
https://www.youtube.com/watch?v=Q8MbiUE-nho
[mm] $\nabla f(\vec [/mm] x) + [mm] \lambda_1*\nabla g_1(\vec x)+\lambda_2*\nabla g_2(\vec x)+...+\lambda_m*\nabla g_m(\vec [/mm] x) = [mm] \vec [/mm] 0 $
Aussage (Video ab der Zeit 14:10): Der Gradient von f muß zu allen Gradienten [mm] g_1 [/mm] ... [mm] g_m [/mm] linear abhängig sein um ein Extrema vorweisen zu können.
Im [mm] \IR^3 [/mm] ist mir das soweit klar. Da ist der Gradientenvektorl von f "deckungsgleich" mit dem von g.
So kann es aber wohl nicht gemeint sein:
[mm] $\nabla f(\vec [/mm] x) + [mm] \lambda_1*\nabla g_1(\vec [/mm] x) = [mm] \vec [/mm] 0 $
[mm] $\nabla f(\vec [/mm] x) + [mm] \lambda_2*\nabla g_2\vec [/mm] x) = [mm] \vec [/mm] 0 $
.
.
etc.
Also jeweils immer "deckungsgleich"??
Wie kann man sich das vorstellen im höherdimensionalen? Sind da alle Gradienten kolinear und die Summe von den g-Gradienten sind dann die Resultierenten, die gleich (Betrag) dem Gradienten von f ist?
Irgendwie habe da im Moment keinen Durchblick. Kann mir das bitte jemand erklären wie das gemeint ist?
LG
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Fr 03.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ich habe noch eine weitere Frage zum Thema.
>
> Es gilt die Beziehung:
>
> Aus dem Video:
>
> https://www.youtube.com/watch?v=Q8MbiUE-nho
>
> [mm]\nabla f(\vec x) + \lambda_1*\nabla g_1(\vec x)+\lambda_2*\nabla g_2(\vec x)+...+\lambda_m*\nabla g_m(\vec x) = \vec 0[/mm]
>
> Aussage (Video ab der Zeit 14:10): Der Gradient von f muß
> zu allen Gradienten [mm]g_1[/mm] ... [mm]g_m[/mm] linear abhängig sein um
> ein Extrema vorweisen zu können.
>
> Im [mm]\IR^3[/mm] ist mir das soweit klar. Da ist der
> Gradientenvektorl von f "deckungsgleich" mit dem von g.
>
> So kann es aber wohl nicht gemeint sein:
>
> [mm]\nabla f(\vec x) + \lambda_1*\nabla g_1(\vec x) = \vec 0[/mm]
>
> [mm]\nabla f(\vec x) + \lambda_2*\nabla g_2\vec x) = \vec 0[/mm]
> .
> .
> etc.
> Also jeweils immer "deckungsgleich"??
Nein, so ist das nicht gemeint, was soll denn "deckungsgleich" bedeuten ???
Machen wir mal Nägel mit Köpfen:
Die Multiplikatorenregel lautet so ( die bekloppten Pfeile lasse ich weg !):
sei D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^n, [/mm] sei m<n und seien $f, [mm] g_1,...., g_m:D \to \IR$ [/mm] stetig differenzierbare Funtionen. Weiter sei [mm] x_0 \in [/mm] D, [mm] g:=(g_1,...,g_m) [/mm] , rang [mm] (g'(x_0))=m [/mm] und f habe in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung g=0.
(letzteres bedeutet: [mm] T:=\{x \in D: g(x) =0\} \ne \emptyset, x_0 \in [/mm] T und die Einschränkung [mm] f_{|T} [/mm] hat in [mm] x_0 [/mm] ein lok. Extremum).
Dann existieren [mm] \lambda_1,..., \lambda_m \in \IR [/mm] mit:
(*) [mm]\nabla f(x_0) + \lambda_1*\nabla g_1(x_0)+\lambda_2*\nabla g_2(x_0)+...+\lambda_m*\nabla g_m(x_0) =0[/mm]
Nun schau Dir mal die letzte Gleichung an: da haben wir m+1 Vektoren im [mm] \IR^n, [/mm] nämlich [mm] \nabla f(x_0) [/mm] , [mm] \nabla g_1(x_0),..., \nabla g_m(x_0). [/mm] Und in (*) steht eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors des [mm] \IR^n.
[/mm]
Das bedeutet: [mm] \nabla f(x_0) [/mm] , [mm] \nabla g_1(x_0),..., \nabla g_m(x_0) [/mm] sind linear abhängig !
Noch ein Tipp: wenn Du diese Dinge, wie implizit def. Funktionen, Lagrange, etc., ... richtig lernen und verstehen willst, so lerne aus einem vernünftigen Analysis-Buch und bemühe nicht solche (meist dämlichen ) Videos.
>
> Wie kann man sich das vorstellen im höherdimensionalen?
> Sind da alle Gradienten kolinear und die Summe von den
> g-Gradienten sind dann die Resultierenten, die gleich
> (Betrag) dem Gradienten von f ist?
>
> Irgendwie habe da im Moment keinen Durchblick. Kann mir das
> bitte jemand erklären wie das gemeint ist?
>
> LG
> Takota
>
>
>
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