Extrema, zwei Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 10.12.2012 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] f(x,y) = [mm] y^{2} [/mm] - [mm] 3x^{2}y+2x^{4}. [/mm] Man zeige
f hat im Ursprung kein lokales Minima. Wo ist f>o, wo f<0 |
Ich habe bereits gezeigt, dass f kein Minimum im Ursprung besitzt, da die Hesse Matrix [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2} [/mm] die Determinante O hat und [mm] f_{yy}=2 [/mm] > 0 ( bezeichnet die zweite partielle Ableitung nach y), daraus folgt dass f einen Sattelpunkt im Ursprung hat!
Aber wie zeige ich wo f> 0 bzw f<0 :/
Danke schonmal für eure Hilfe!
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Hallo,
> Es sei [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] f(x,y) = [mm]y^{2}[/mm] - [mm]3x^{2}y+2x^{4}.[/mm]
> Man zeige
> f hat im Ursprung kein lokales Minima. Wo ist f>o, wo f<0
> Ich habe bereits gezeigt, dass f kein Minimum im Ursprung
> besitzt, da die Hesse Matrix [mm]\pmat{ 0 & 0 \\
0 & 2}[/mm] die
> Determinante O hat und [mm]f_{yy}=2[/mm] > 0 ( bezeichnet die zweite
> partielle Ableitung nach y), daraus folgt dass f einen
> Sattelpunkt im Ursprung hat!
>
>
> Aber wie zeige ich wo f> 0 bzw f<0 :/
Bestimme die Niveaulinie zu z=f(x,y)=0, indem du die Gleichung
[mm] y^2-3x^2y+2x^4=0
[/mm]
nach y auflöst. Das geht hier vermittelst quadratischer Ergänzung sehr einfach. Es kommen zwei Parabeln heraus, die sich in ihren Scheiteln im Ursprung berühren, so dass du im Prinzip zwei Gebiete in der xy-Ebene hast, für die man dann jeweils das Vorzeichen von f durch Einsetzen eines Punktes leicht nachrechnet.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 10.12.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Meinst du [mm] 2x^{2} [/mm] und [mm] x^{2} [/mm] ? Natürlich schneiden die sich und jetzt "einfach Punkte einsetzen und nachrechnen" für welche x,y f > bzw <0 ist???
Also für alle y<0 ist f>0 ,
Der x-Wert spielt "kein Rolle" da dieser immer mit Geraden Exponenten Versehen ist und somit immer >0 ?
Aber wann wird f <0 ? :/
Danke
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Hallo,
> Meinst du [mm]2x^{2}[/mm] und [mm]x^{2}[/mm] ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Natürlich schneiden die sich
> und jetzt "einfach Punkte einsetzen und nachrechnen" für
> welche x,y f > bzw <0 ist???
>
Ein wenig Naachdenken sollte auch dabei sein. Setze einen Punkt ein, der zwischen den beiden Parabeln liegt und einen, der außerhalb liegt.
> Also für alle y<0 ist f>0 ,
> Der x-Wert spielt "kein Rolle" da dieser immer mit Geraden
> Exponenten Versehen ist und somit immer >0 ?
> Aber wann wird f <0 ? :/
Nein, wieso auch (und wie kommst du darauf?)?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mo 10.12.2012 | | Autor: | lisa2802 |
Ich hab jetzt in f(x,y) Punkte eingesetzt, war anscheinend nicht korrekt!
Also ich habe zwei Parabeln, die sich schneiden, sind das die niveaulinien? [mm] y=x^{2} [/mm] und [mm] y=2x^{2}
[/mm]
Wenn ich jetzt einen Punkt nehme der außerhalb liegt zb (2,2) dann ist f(2,2)=12 oder f(1,0)=2
Innerhalb beider f(0,2)=4
Zwischen beiden [mm] f(\bruch{3}{2} [/mm] , 3) = 9
Aber was sagt mir das? F wird nicht <0? Ich steh auf'm Schlauch :(
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Hallo,
> Ich hab jetzt in f(x,y) Punkte eingesetzt, war anscheinend
> nicht korrekt!
Auch an dich die Bitte: wenn du einfach gründlicher und ausführlicher schreiben würdest, was du warum machst, dann könnte man das auch besser nachvollziehen. Wir sind hier keine Hellseher. 
>
> Also ich habe zwei Parabeln, die sich schneiden, sind das
> die niveaulinien? [mm]y=x^{2}[/mm] und [mm]y=2x^{2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt einen Punkt nehme der außerhalb liegt zb
> (2,2) dann ist f(2,2)=12 oder f(1,0)=2
Ich denke, das passt (habs nicht nachgerechnet, aber für die Punkte außerhalb gilt f(x,y)>0).
>
> Innerhalb beider f(0,2)=4
Dieser Punkt liegt nicht zwischen den beiden Parabelen!
>
> Zwischen beiden [mm]f(\bruch{3}{2}[/mm] , 3) = 9
Nein, da hast du dich schlicht und ergreifend verrechnet. Es ist
[mm] f\left(\bruch{3}{2},3\right)=-\bruch{9}{8}<0
[/mm]
>
> Aber was sagt mir das? F wird nicht <0? Ich steh auf'm
> Schlauch :(
>
Und das sagt dir jetzt: im Gebiet zwischen den beiden Parabeln ist f(x,y)<0, außerhalb der beiden Parabeln >0, auf der Parabel gleich Null. Jetzt ist es an dir, die Lösungen sauber in Form von LÖsungsmengen aufzuschreiben.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 10.12.2012 | | Autor: | lisa2802 |
> >
> > Zwischen beiden [mm]f(\bruch{3}{2}[/mm] , 3) = 9
>
> Nein, da hast du dich schlicht und ergreifend verrechnet.
> Es ist
>
> [mm]f\left(\bruch{3}{2},3\right)=-\bruch{9}{8}<0[/mm]
Stimmt danke!
> Und das sagt dir jetzt: im Gebiet zwischen den beiden
> Parabeln ist f(x,y)<0, außerhalb der beiden Parabeln >0,
> auf der Parabel gleich Null. Jetzt ist es an dir, die
> Lösungen sauber in Form von LÖsungsmengen
> aufzuschreiben.
>
>
> Gruß, Diophant
Okay, aber das wirft direkt wieder fragen auf! Denn mit losungsmengen hab ich's nicht so!
{ (x,y) [mm] \in y=x^{2} \vee \in y=2x^{2}|f(x,y) [/mm] = 0}
{ (x,y) [mm] \not\in y=x^{2} \vee \not\in y=2x^{2}|f(x,y) [/mm] > 0} das kann nur falsch sein :/
{ wie Sage ich aus dass (x,y) zwischen den Parabeln liegen muss ?|f(x,y) < 0}
Ich hab das nicht drauf :-(
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Hallo,
Vorschlag:
[mm] \IL_1=\{(x,y): x\in\IR \wedge x^x
[mm] \IL_2=\{(x,y): x\in\IR \wedge (y
Hier gibt es aber i.d.R. unterschiedliche Möglichkeiten und Schreibweisen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 10.12.2012 | | Autor: | lisa2802 |
> Hallo,
>
> Vorschlag:
>
> [mm]\IL_1=\{(x,y): x\in\IR \wedge x^x
>
> [mm]\IL_2=\{(x,y): x\in\IR \wedge (y
>
> Hier gibt es aber i.d.R. unterschiedliche Möglichkeiten
> und Schreibweisen!
Aber wo steht denn in den losungsmengen was dann für f(x,y) gilt???
[mm] L_{1} [/mm] entspricht f(x,y)<0
Und [mm] L_{2} [/mm] entspricht>0??
>
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> Gruß, Diophant
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Hallo,
> Aber wo steht denn in den losungsmengen was dann für
> f(x,y) gilt???
> [mm]L_{1}[/mm] entspricht f(x,y)<0
> Und [mm]L_{2}[/mm] entspricht>0??
Das soll ja auch nicht in den Lösungsmengen für die eintzelnen Fälle stehen, da es jeweils Voraussetzungen sind. Und ganz ehrlich: ein wenig kannst du schon auch die Initiative ergreifen. Schreibweisen in der Mathematik sollten vor allem eines sein: sinnhaft, daher kann man sich da auch ohne Vorkenntnisse etwas vernünftiges ausdenken, Hauptsache der Sachverhalt kommt klar und deutlich zum Ausdruck!
Gruß, Diophant
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