Extrema zwei Veränderliche < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle globalen und lokalen Extremwerte sowie Sattelpunkte von g.
$g : [mm] \IR^2 \to \IR$ $g(x,y)=e^{x^2 - y^2}$ [/mm] |
Nun, wenn ich [mm] $\nabla$ [/mm] g(x,y)rechne und dann Nullsetze bekomme ich nur ein stationärer Punkt (0,0) . Jetzt weiss ich nicht ob das wirklich so ist.
[mm] $\nabla [/mm] g(x,y) = [mm] \vektor{2x e^{x^2 - y^2} \\ -2y ^{x^2 - y^2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] $
Noch eine Frage. Wie kann ich unterscheiden, ob es ein lokaler Extremwert ist oder ein globaler?
mfg, Mat_
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle globalen und lokalen Extremwerte sowie
> Sattelpunkte von g.
>
> [mm]g : \IR^2 \to \IR[/mm] [mm]g(x,y)=e^{x^2 - y^2}[/mm]
> Nun, wenn ich
> [mm]\nabla[/mm] g(x,y)rechne und dann Nullsetze bekomme ich nur ein
> stationärer Punkt (0,0) . Jetzt weiss ich nicht ob das
> wirklich so ist.
Ja, es ist so.
>
> [mm]\nabla g(x,y) = \vektor{2x e^{x^2 - y^2} \\ -2y ^{x^2 - y^2}} = \vektor{0 \\ 0}[/mm]
Da [mm] e^{x^2 - y^2} [/mm] immer > 0 ist, hat man:
[mm] \vektor{2x e^{x^2 - y^2} \\ -2y ^{x^2 - y^2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} \gdw [/mm] x=y=0
>
> Noch eine Frage. Wie kann ich unterscheiden, ob es ein
> lokaler Extremwert ist oder ein globaler?
Es liegt kein Extremwert in (0,0) vor !! Denn:
$g(0,t)= [mm] e^{-t^2} \le [/mm] 1 = g(0,0) [mm] \le e^{t^2}= [/mm] g(t,0)$ für jedes t [mm] \in \IR.
[/mm]
D.h.: in jeder Umgebung von (0,0) nimmt g Funktionswerte an, die sowohl größer als auch kleiner als g(0,0) sind.
FRED
>
> mfg, Mat_
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
ich habe nun noch die Hessematrix ausgerechnet und da deren Eigenwerte im Punkt (0,0) indefinit sind, hat g(x,y) ein Sattelpunkt an dieser Stelle. Sattelpunkte gehen auch unter Extrema!
Nun noch zur Unterscheidung von lokal und global?
kann man sagen, dass es ein globales ist, da es das einzige ist? da weiss ich nie..
Mat_
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> ich habe nun noch die Hessematrix ausgerechnet und da deren
> Eigenwerte im Punkt (0,0) indefinit sind,
Nicht die Eigenwerte sind indefinit, sondern die Hessematrix
> hat g(x,y) ein
> Sattelpunkt an dieser Stelle.
Ja, das hab ich ja oben auch schon geschrieben.
> Sattelpunkte gehen auch unter
> Extrema!
Seit wann ??????????????????
>
> Nun noch zur Unterscheidung von lokal und global?
> kann man sagen, dass es ein globales ist, da es das
> einzige ist?
Die Funktion g hat weder lokale noch globale Extremwerte !!
FRED
> da weiss ich nie..
>
> Mat_
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
schon gut du bist hier der Experte nicht ich :)
bin Dir sehr dankbar für deine Hilfe.
Packe ich nun noch die Nebenbedingung $M= [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 : e^{x^2 + y^2 } = 2 \}$
[/mm]
f(x,y) = [mm] e^{x^2 + y^2 } [/mm] - 2 =0
diese Menge ist kompakt (habe ich untersucht) und mit dem Satz über Max und Min folgt ja, dass die Funktion nun ihre Extrema auf dem Rand dieser Menge annimmt.
konstruiere ich nun die Lagrangefunktion:
$ [mm] L(x,y,\lambda) [/mm] = g + [mm] \lambda [/mm] f$
$ [mm] \nabla [/mm] L = [mm] \vektor{2x e^{x^2 - y^2 } + \lambda 2x e^{x^2 + y^2 }\\ -
2y e^{x^2 - y^2 } + \lambda 2y e^{x^2 + y^2 }}$
[/mm]
und nun stecke ich wieder fest...
Lg Mat_
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit Lagrange würde ich das nicht machen
Für (x,y) [mm] \in [/mm] M ist
$g(x,y)= [mm] e^{x^2+y^2-2y^2}= e^{x^2+y^2}*e^{-2y^2}=2*e^{-2y^2}$
[/mm]
D.h.: Du mußt die Funktion [mm] h(y)=2*e^{-2y^2} [/mm] auf dem Intervall $[- [mm] \wurzel{ln(2)}, \wurzel{ln(2)}]$
[/mm]
untersuchen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
und wie kommst Du auf: $g(x,y)= [mm] e^{x^2+y^2-2y^2}$
[/mm]
löse die Nebenbedingung auf [mm] $x^2 [/mm] = [mm] \ln(2) [/mm] - [mm] y^2$ [/mm]
und das eingesetzt ergibt ja nicht das..bin drum nur mit dem Lagrangeverfahren vertraut.
Mat_
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 14.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> und wie kommst Du auf: [mm]g(x,y)= e^{x^2+y^2-2y^2}[/mm]
Das ist ein kleiner trick, damit ich die NB [mm] e^{x^2 + y^2 } [/mm] = 2 verarzten kann
>
> löse die Nebenbedingung auf [mm]x^2 = \ln(2) - y^2[/mm]
Das führt zum gleichen ...
>
> und das eingesetzt ergibt ja nicht das
Doch , rechne mal
> ..bin drum nur mit
> dem Lagrangeverfahren vertraut.
Wie Du meinst
FRED
>
> Mat_
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
danke Fred!
Ich habe nun alle Aufgaben von diesem Typ gelöst.
Mat_
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