Extremale Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Fr 08.08.2014 | | Autor: | sanadros |
Ich versuche für meine kleine Formelsammlung eine Allgemeine Formel zu finden um die Maximale und Minimale Richtungsableitung in einem Punkt P zu bestimmen:
Also allgemein Richtungsableitung hätten wir ja:
[mm] \nabla f(x;y)^T * \vec a [/mm]
Für 2 Variablen hätten wir die Formel:
[mm] \bruch{d}{dt} \left( \nabla f(x;y)^T * \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} \right) = 0 [/mm]
daraus wird dann
[mm] \bruch{d}{dt} \left( f_x * \cos t + f_y * \sin t \right) = 0 [/mm]
und dann
[mm] - f_x * \sin t + f_y \cos t = o [/mm]
[mm] f_y \cos t = f_x * \sin t [/mm]
[mm] \bruch{f_y}{f_x} = \bruch {\sin t}{\cos t} [/mm]
[mm] \bruch{f_y}{f_x} = \tan t [/mm]
Und wie macht man dann weiter?
Und bei 3 Variablen wäre der Anfang richtig so:
[mm] \bruch{d}{dt} \left( \nabla f(x;y;z)^T * \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix} \right) = 0 [/mm]
Was dann quasi zur gleichen führen würde wie oben:
[mm] \bruch{d}{dt} \left( f_x * \cos t + f_y * \sin t \right) = 0 [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Fr 08.08.2014 | | Autor: | hippias |
> Ich versuche für meine kleine Formelsammlung eine
> Allgemeine Formel zu finden um die Maximale und Minimale
> Richtungsableitung in einem Punkt P zu bestimmen:
>
> Also allgemein Richtungsableitung hätten wir ja:
> [mm]\nabla f(x;y)^T * \vec a[/mm]
>
> Für 2 Variablen hätten wir die Formel:
>
> [mm]\bruch{d}{dt} \left( \nabla f(x;y)^T * \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} \right) = 0[/mm]
>
> daraus wird dann
>
> [mm]\bruch{d}{dt} \left( f_x * \cos t + f_y * \sin t \right) = 0[/mm]
>
> und dann
>
> [mm]- f_x * \sin t + f_y \cos t = o[/mm]
>
> [mm]f_y \cos t = f_x * \sin t[/mm]
>
> [mm]\bruch{f_y}{f_x} = \bruch {\sin t}{\cos t}[/mm]
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> [mm]\bruch{f_y}{f_x} = \tan t[/mm]
>
> Und wie macht man dann weiter?
Es folgt $t= arctan [mm] \bruch{f_y}{f_x}$. [/mm] Das ist aber, finde ich, nicht schoen. Die Richtungsableitung ist in der Richtung am groessten, die in Richtung des Gradienten zeigt und am kleinsten, in der entegegensetzten Richtung. Das ist vielleicht sogar anschaulich klar.
Du erkennst dies auch an der Gleichung, die Du hergeleitet hast, denn [mm] $\bruch{f_y}{f_x}$ [/mm] ist auch "Gegenkathete durch Ankathete" also [mm] $=\tan \alpha$, [/mm] wobei [mm] $\alpha$ [/mm] der Winkel zwischen Gradient und $x$-Achse ist. Damit ist [mm] $\tan \alpha [/mm] = [mm] \tan [/mm] t$, also [mm] $\alpha= [/mm] t$ (und weitere Werte, die sich aus der Periodizitaet ergeben).
Mach' es mit Hilfe der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung: [mm] $|\nabla f(x;y)^T [/mm] * [mm] \vec a|\leq |\nabla [/mm] f(x;y)|$, wobei genau dann Gleichheit gilt, wenn die beiden Vektoren in die gleiche Richtung zeigen.
>
> Und bei 3 Variablen wäre der Anfang richtig so:
>
> [mm]\bruch{d}{dt} \left( \nabla f(x;y;z)^T * \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix} \right) = 0[/mm]
>
Nein, die Parametrisierung fuer einen Einheitsvektor im [mm] $\IR^{3}$, [/mm] die Du vermutlich meinst, lautet [mm] $\begin{pmatrix} \cos t\cos t' \\ \sin t\cos t' \\ sin t' \end{pmatrix}$. [/mm] Aber auch hier gilt, dass es viel eleganter mit der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung geht.
> Was dann quasi zur gleichen führen würde wie oben:
>
> [mm]\bruch{d}{dt} \left( f_x * \cos t + f_y * \sin t \right) = 0[/mm]
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Fr 08.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] , sei f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und sei f in p [mm] \in [/mm] D differenzierbar. Weiter sei a [mm] \in \IR^n [/mm] eine Richtung, also [mm] ||a||_2=1.
[/mm]
Dann gilt für die Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial a}(p):
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial a}(p)=\nabla f(p)^T \cdot{} [/mm] a $
Fall 1: [mm] $\nabla [/mm] f(p)=0.$ Dann ist
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial a}(p)=0 [/mm] für jede Richtung a.
Fall 2: [mm] $\nabla [/mm] f(p) [mm] \ne [/mm] 0$
Setzt man [mm] a_0:=\bruch{\nabla f(p)}{||\nabla f(p)||_2}, [/mm] so gilt:
[mm] $-\bruch{\partial f}{\partial a_0}(p)=\bruch{\partial f}{\partial (-a_0)}(p) \le \bruch{\partial f}{\partial a}(p) \le \bruch{\partial f}{\partial a_0}(p)$ [/mm] für alle Richtungen a.
Wie hippias schon sagte: der Beweis erfolgt mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.
FRED
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