Extremalgleichung,Gradient usw < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (Die genaue Aufgabestellung ist nicht wichtig, also seien g,a,b usw. irgendwelche Variablen)
Gegeben:
[mm] g:\vektor{a\\b}\mapsto(a [/mm] - [mm] b)e^{-a}.(1 [/mm] - [mm] e^{-b}) [/mm] = 0
Sei [mm] x_{@} [/mm] = [mm] \vektor{a_{@}\\b_{@}} [/mm] . [mm] x_{@} [/mm] erfüllt die Extremalgleichung [mm] F(x_{@})=0, [/mm] wo [mm] F:\vektor{a\\b}\mapsto\vektor{\bruch{dg}{da}\\\bruch{dg}{db}} [/mm] der Gradient von g ist(hier ist "d" als ∂ gemeint).Berechne F explizit. |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gradien...Extremalgleichung...Ich brauche dringend ein Matheübersetzer...Diesmal hab ich keine Ideen oder eventuell eine Lösungsvorschlag...Wenn jemand mir ein paar [mm] Tips\Hinweise [/mm] geben kann (keine Lösung bitte - ich möchte das selbst machen, da es wahrscheinlich so was eckelhaftes auch auf der Klausur geben wird :(). Wenn ich so was sehe, weiß ich wirklich nicht wo die Anfang und das Ende ist...Wirklich keine Ahnung...
Wie kann man die a und b aus g bekommen. Also g ist gegeben - das kann man sehen, aber a und b nicht (wahrscheinlich kann ich es auch nicht sehen).
Um Gegeben:
[mm] g:\vektor{a\\b}\mapsto(a [/mm] - [mm] b)e^{-a}.(1 [/mm] - [mm] e^{-b}) [/mm] = 0
Sei [mm] x_{@} [/mm] = [mm] \vektor{a_{@}\\b_{@}} [/mm] . [mm] x_{@} [/mm] erfüllt die Extremalgleichung [mm] F(x_{@})=0, [/mm] wo [mm] F:\vektor{a\\b}\mapsto\vektor{\bruch{dg}{da}\\\bruch{dg}{db}} [/mm] (hier ist "d" als ∂ gemeint) zu berechnen, braucht man diese, oder?
Vielen, vielen Dank im Voraus für die Hilfe!
EDIT: Hab schon eine Idee wie man die Differeznierung machen kann (nicht so schwierig).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ja rechne F doch einfach aus. F ist doch der Gradient von g und g ist explizit gegeben.
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Danke sehr. Ich werde das jetzt probieren. Merkwürdig wie man gut Ideen kriegt und Lösungen findent, während ein kurzes Schlaff :P
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Da ich nicht gut in diesen Sachen bin, möchte ich nur noch fragen, ob [mm] \vektor{\bruch{dg}{da}\\\bruch{dg}{db}} [/mm] hier ein Vektor ist? Also wir berechnen die Ableitung von g nach a (sei das = [mm] x_{1}), [/mm] dann die Ableitung von g nach b (sei das = [mm] x_{2}) [/mm] und wir kriegen das g ein Vektor ist aus dem Form [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}}. [/mm] Hab ich das richtig verstanden?
Vielen Dank noch einmal ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ja, der Gradient von g ist ein Vektor (mit der ersten Komponente [mm] \bruch{\partial g}{\partial a} [/mm] und der zweiten Komponente [mm] \bruch{\partial g}{\partial b}).
[/mm]
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Es scheint, dass ich wahrscheinlich Probleme mit der Differenzierung habe...
Hier ist was ich gemacht habe...
Da hab ich [mm] \vektor{\bruch{dg}{da}\\\bruch{dg}{db}} [/mm] , also muss ich [mm] \bruch{dg}{da} [/mm] und [mm] \bruch{dg}{db} [/mm] berechnen...
Zuerst werde ich die Klammern in den Funktion öffnen:
[mm] g(a,b)=(a-b).e^{-a}.(1-e^{-b})=(a.e^{-a}-b.e^{-a}).(1-e^{-b})=a.e^{-a}-a.e^{-a}.e^{-b}-b.e^{-a}+b.e^{-a}.e^{-b}
[/mm]
Jetzt:
[mm] \bruch{dg}{da}=e^{-b}-(-a).e^{-a}.e^{-b}-(-a).b.e^{-a}-(-a).b.e^{-a}.e^{-b}=e^{-b}+a.e^{-a}.e^{-b}+a.b.e^{-a}+a.b.e^{-a}.e^{-b}
[/mm]
[mm] \bruch{dg}{da}=a.b.e^{-a}.e^{-b}-e^{-a}+b.e^{-a}.e^{-b}
[/mm]
Da bekommen wir:
[mm] F:\vektor{a\\b}\mapsto\vektor{e^{-b}+a.e^{-a}.e^{-b}+a.b.e^{-a}+a.b.e^{-a}.e^{-b}\\a.b.e^{-a}.e^{-b}-e^{-a}+b.e^{-a}.e^{-b}}
[/mm]
Das sieht schrecklich aus :( Hab ich es falsch gemacht?
EDIT: Noch eine Frage...Wie kann man die Ableitung von [mm] F:\IR^{2}\to\IR^{2x2} [/mm] berechnen?
Danke sehr.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 05.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Es scheint, dass ich wahrscheinlich Probleme mit der
> Differenzierung habe...
> Hier ist was ich gemacht habe...
> Da hab ich [mm]\vektor{\bruch{dg}{da}\\\bruch{dg}{db}}[/mm] , also
> muss ich [mm]\bruch{dg}{da}[/mm] und [mm]\bruch{dg}{db}[/mm] berechnen...
>
> Zuerst werde ich die Klammern in den Funktion öffnen:
>
> [mm]g(a,b)=(a-b).e^{-a}.(1-e^{-b})=(a.e^{-a}-b.e^{-a}).(1-e^{-b})=a.e^{-a}-a.e^{-a}.e^{-b}-b.e^{-a}+b.e^{-a}.e^{-b}[/mm]
> Jetzt:
>
> [mm]\bruch{dg}{da}=e^{-b}-(-a).e^{-a}.e^{-b}-(-a).b.e^{-a}-(-a).b.e^{-a}.e^{-b}=e^{-b}+a.e^{-a}.e^{-b}+a.b.e^{-a}+a.b.e^{-a}.e^{-b}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dg}{da}=a.b.e^{-a}.e^{-b}-e^{-a}+b.e^{-a}.e^{-b}[/mm]
>
> Da bekommen wir:
>
> [mm]F:\vektor{a\\b}\mapsto\vektor{e^{-b}+a.e^{-a}.e^{-b}+a.b.e^{-a}+a.b.e^{-a}.e^{-b}\\a.b.e^{-a}.e^{-b}-e^{-a}+b.e^{-a}.e^{-b}}[/mm]
> Das sieht schrecklich aus :( Hab ich es falsch gemacht?
>
>
> EDIT: Noch eine Frage...Wie kann man die Ableitung von
> [mm]F:\IR^{2}\to\IR^{2x2}[/mm] berechnen?
>
> Danke sehr.
Du hast dich da auf jeden Fall irgendwo verrechnet.
[mm] ae^{-a} [/mm] abgeleitet nach a ergibt [mm] e^{-a}-ae^{-a}.
[/mm]
[mm] \IR^{2\times 2} [/mm] kannste als [mm] \IR^4 [/mm] auffassen, also [mm] f_1, [/mm] ..., [mm] f_4 [/mm] partiell ableiten.
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Danke :)
Ach, ja, Produktregel:
[mm] (ae^{-a})'=\underbrace{a.(e^{-a})'}_{=-a.e^{-a}}+\underbrace{a'.e^{-a}}_{=e^{-a}}=-a.e^{-a}+e^{-a} =e^{-a}-a.e^{-a}.
[/mm]
Also meine neue Lösung:
[mm] \bruch{dg}{da}=a.e^{-a}-a.e^{-a}.e^{-b}-w.e^{-a}+a.e^{-a}.e^{-b}=e^{-a}.(1-e^{-b}).(1-a+b)
[/mm]
[mm] \bruch{dg}{db}=a.e^{-a}.e^{-b}-e^{-a}-e^{-a}.e^{-b}+b.e^{-a}.e^{-b}=e^{-a}.(e^{-b}.(p+w-1)-1)
[/mm]
(Hoffe dies mal keine Fehler :P, obwohl es wieder sehr merkwürdig aussieht :().
Bei der partielle Ableitung nach a, behandeln wir nur diese als eine Variable. Bei b ist es Analog...Was ich nicht verstehen kann ist das folgene: wir haben unsere Funktion mit 2 unbekannte Variablen...
Also bei diese Funktion hab ich die erste Ableitung gefunden (hoffentlich richtig). Das ist meine erste Zeile von der Hesse-Matirx. Die zweite Zeile bekomme ich, wenn ich die erste Ableitung nach a und b wieder ableite (also 2 ableiten isngesamt). Ist das richtig?
Vielen Dank im Voraus.
EDIT: Soooo...Ich glaube ich hab's verstanden. Also um diese Hesse-matrix zu bilden [mm] (\IR^{2}\to\IR^{2x2}), [/mm] muss ich das folgende machen:
Ich nehme meine Ableitung 1.Ordnung nach a und leite diese einmal nach a und einmal nach b (also 2 Ableitungen 2.Ordnung).
Dann nehme ich mein zweite Ableitung 1.Ordnung nach b und leite diese wieder einmal nach a und einmal nach b und bekomme die 2.Zeile meiner Matrix :)
Noch was - wozu braucht man diese Extremalgleichung hier...Normalerweise macht man die Ableitung 2.Ordnung = 0 um die Extremstellen zu berechnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Do 05.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Danke :)
>
> Ach, ja, Produktregel:
>
> [mm](ae^{-a})'=\underbrace{a.(e^{-a})'}_{=-a.e^{-a}}+\underbrace{a'.e^{-a}}_{=e^{-a}}=-a.e^{-a}+e^{-a} =e^{-a}-a.e^{-a}.[/mm]
>
> Also meine neue Lösung:
>
> [mm]\bruch{dg}{da}=a.e^{-a}-a.e^{-a}.e^{-b}-w.e^{-a}+a.e^{-a}.e^{-b}=e^{-a}.(1-e^{-b}).(1-a+b)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dg}{db}=a.e^{-a}.e^{-b}-e^{-a}-e^{-a}.e^{-b}+b.e^{-a}.e^{-b}=e^{-a}.(e^{-b}.(p+w-1)-1)[/mm]
> (Hoffe dies mal keine Fehler :P, obwohl es wieder sehr
> merkwürdig aussieht :().
>
Habs nicht nachgerechnet - aber es muss ja nicht unbedingt schön aussehen, oder? ^^
>
> Bei der partielle Ableitung nach a, behandeln wir nur diese
> als eine Variable. Bei b ist es Analog...Was ich nicht
> verstehen kann ist das folgene: wir haben unsere Funktion
> mit 2 unbekannte Variablen...
> Also bei diese Funktion hab ich die erste Ableitung
> gefunden (hoffentlich richtig). Das ist meine erste Zeile
> von der Hesse-Matirx. Die zweite Zeile bekomme ich, wenn
> ich die erste Ableitung nach a und b wieder ableite (also 2
> ableiten isngesamt). Ist das richtig?
Haste dir selbst unten beantwortet.
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> EDIT: Soooo...Ich glaube ich hab's verstanden. Also um
> diese Hesse-matrix zu bilden [mm](\IR^{2}\to\IR^{2x2}),[/mm] muss
> ich das folgende machen:
> Ich nehme meine Ableitung 1.Ordnung nach a und leite diese
> einmal nach a und einmal nach b (also 2 Ableitungen
> 2.Ordnung).
> Dann nehme ich mein zweite Ableitung 1.Ordnung nach b und
> leite diese wieder einmal nach a und einmal nach b und
> bekomme die 2.Zeile meiner Matrix :)
Richtig.
>
> Noch was - wozu braucht man diese Extremalgleichung
> hier...Normalerweise macht man die Ableitung 2.Ordnung = 0
> um die Extremstellen zu berechnen.
Also im eindimensionalen waren ja die Punkte mit f'=0 die Kandidaten für Extremstellen. Dann haste die zweite Ableitung dir angeschaut, um das zu bestätigen (bzw. wars dann bloß ein Wendepunkt).
Im mehrdimensionalen sind die Punkte mit grad f=0 (hier steht rechts jetzt der Nullvektor) wieder die Kandidaten für Extremstellen. Und dann musste dir Hesse-Matrix dir anschauen, um das zu bestätigen. Wobei das hier jetzt etwas anders ist, denn jetzt ist ausschlaggebend, ob die Hesse-Matrix positiv/negativ (semi-)definit ist.
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Danke sehr. Alles schon gestern erledigt :)
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