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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Di 07.03.2006 | | Autor: | replay |
| Aufgabe | An zwei gegenüberliegenden Ecken von Bauer Hubers rechteckigem Rapsfeld stehen eine Hütte (H) und eine Trafostation (T). Diese sollen durch ein Stromkabel verbunden werden.
Die Kosten der Kabelverlegung hängen vom Verlauf des Kabels ab. Am Rand des Feldes entlang kostet die Verlegung 500 pro Meter. Quer über das Feld hinweg kostet sie 100 pro Meter.
Wie muss das Kabel verlegt werden, damit die Kosten möglichst gering sind? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dazu: weiß nicht obs von Bedeutung ist aber, die eine Seite des Felds ist 300m lang und die andere 400m.
Sitze jetzt schon seid einer Stunde an dieser Aufgabe und weiß noch nicht mal die Extremalbedingung.
Brauch nur nen kleinen Denk Anstoß =)
Wär echt nett.
Danke im Vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Di 07.03.2006 | | Autor: | tAtey |
Ich denke es ist von Bedeutung WELCHE Seite 400m bzw. 300m lang ist?!
Und ist mit "gegenüberliegende Ecken" gemeint, dass die Ecken durch ein Kabel verbunden werden sollen, die mit der Diagonalen des Rechtecks verbunden sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Di 07.03.2006 | | Autor: | replay |
also
Länge des Rechtecks 400m
Breite des Rechtecks 300m
wenn man das Kabel nur Diagonal von einem Punkt zum andern verlegen würde wär es ja am teuersten da die Verlegung übers feld 1000 pro meter kostet
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:34 Di 07.03.2006 | | Autor: | tAtey |
1000.
Ich hatte mich schon gewundert, da ich das ganze erst mit 100 gerechnet hatte, und da ein hoher Kostenunterschied raus.
Also, meine Lösung:
Ich begeb mich mal daran, da es für mich auch ne tolle Übung für meine Kursarbeit am Donnerstag ist. :)
Wenn man das mal zeichnet, dann wäre das Kabel, welches quer über das Feld geht eine lineare fallende Funktion. Du könntest dies in ein Koordinatensystem zeichnen, und die Formel dieser linearen Funktion würde dann betragen:
Steigung m = y/x, in diesem Falle 300m/-400m = -3/4
Achsenabschnitt c = 300m
-> f(x)=-3/4x + 300
Dies ist jetzt die Diagonale des Rechtecks, um die Länge herauszufinden muss der Satz des Pythagoras angewendet werden:
300² + 400² = d² (d=Diagonale)
d=500m
Das heißt, wenn das Kabel quer über das Feld geht und pro Meter 1000 kostet, dann kostet es 500.000 .
Wenn das Kabel am Rand entlanggeht, dann muss es 700m lang sein, das heißt der Preis beträgt 350.000 .
Das heißt, das Kabel sollte am Rand entlang gehen, dann ist es am preiswertesten.
So, was mir gerade auffällt, ich habe weder eine Zielfunktion angegeben, noch eine Nebenbedingung, und die lineare Funktion, die hätte ich mir auch sparen können. Ich weiß nicht ob das Ergebnis stimmt, aber so wäre es für mich am logischsten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Di 07.03.2006 | | Autor: | replay |
Hab mir auch die ganze Zeit gedacht, dass es am günstigsten wäre wenn das Kabel NUR am Feldrand verlegt werden würde...
Mir fällt aber nicht ein welche Extremalbedingung oder sonstiges dafür genommen werden könnte...
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Also ich würd mal folgende Lösung vorschlagen:
Das Feld hat die beiden Seiten a und b, a = 400m b = 300m
So jetzt teile ich das Feld auf:
[Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Damit folgt:
Kabellänge $ l = s + r $
$ s = \wurzel {(400-r)^2 + 300^2} $
folgt für die Kabellänge: $l = \wurzel {(400-r)^2 + 300^2} + r $
Da mit Ausnahme von r = 400, s die über das Feld verlegte Strecke ist (1000 ) und r die am Rand gelegte Strecke ist (500) folgt:
Gesamtpreis $ P(r) = 500 * r + 1000 * \wurzel {(400-r)^2 + 300^2} $
Ableitung: $P'(r) = 500(1 + \bruch{2r-800}{\wurzel {r^2 - 800r + 500^2}) $
$ 0 = 500(1 + \bruch{2r-800}{\wurzel {r^2 - 800r + 500^2}) $
$ 0 = r^2 - 3200r + 3,08*10^6 $
$ r_{1/2} = 400 +- 173,2 $
Die 2.Ableitung spar ich mir jetzt, sondern verifiziere den Tiefpunkt bei $ r = 226,8$
Folgt:
$ P(226,8) = 500 * 226,8 + 1000 * \wurzel {(400-226,8)^2 + 300^2} $
$ P(226,8) = 113400 + 346407 = 459.807 $
Randwerte:
Diagonal über das Feld: $ P = sqrt{300^2 + 400^2} * 1000 = 500.000 $
Am Rand entlang: $ P = (300m+400m) * 500 = 350.000 $
Also ist am Rand entlang wirklich billiger.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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