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| Aufgabe | | Berechnen sie die Lage und Art der Extrema der folgenden Funktion [mm]g : \IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm] g(x, y) = 2x^4 + 2x^2y^2 + y^4[/mm] |
Hallo,
ich hab ein Problem bei obiger Extremaluntersuchung. Ich hab die Funktionalmatrix und die Hessematrix gebildet und als einzigen kritischen Punkt von g (0,0) herausbekommen (was ja auch Sinn macht, wenn man sich die Funktion so ansieht). Allerdings ist die Hessematrix
[mm]H(f) = \pmat{ 24x^2 + 4y^2 & 8xy \\ 8xy & 4x^2 + 12y^2 }[/mm]
an der Stelle (0,0) natürlich sämtlich mit Nullen besetzt, d.h. ich kriege keine Auskunft über die Art des Extremums. Wenn ich die Funktion sehe, scheint mir das ja ein Minimum zu sein - nur wie zeige ich das allgemeingültig? Ich müsste ja irgendwie das Funktionsverhalten in einer Umgebung von (0,0) untersuchen, ich weiß aber nicht so recht, wie das gehen soll. Mag mir da jemand weiterhelfen?
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> Berechnen sie die Lage und Art der Extrema der folgenden
> Funktion [mm]g : \IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]g(x, y) = 2x^4 + 2x^2y^2 + y^4[/mm]
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> Hallo,
> ich hab ein Problem bei obiger Extremaluntersuchung. Ich
> hab die Funktionalmatrix und die Hessematrix gebildet und
> als einzigen kritischen Punkt von g (0,0) herausbekommen
> (was ja auch Sinn macht, wenn man sich die Funktion so
> ansieht). Allerdings ist die Hessematrix
> [mm]H(f) = \pmat{ 24x^2 + 4y^2 & 8xy \\ 8xy & 4x^2 + 12y^2 }[/mm]
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> an der Stelle (0,0) natürlich sämtlich mit Nullen besetzt,
> d.h. ich kriege keine Auskunft über die Art des Extremums.
> Wenn ich die Funktion sehe, scheint mir das ja ein Minimum
> zu sein - nur wie zeige ich das allgemeingültig? Ich müsste
> ja irgendwie das Funktionsverhalten in einer Umgebung von
> (0,0) untersuchen, ich weiß aber nicht so recht, wie das
> gehen soll. Mag mir da jemand weiterhelfen?
Hallo,
für [mm] (x,y)\not=0 [/mm] ist x oder y von 0 verschieden, also ist an diesen Stellen g(x, y) = [mm] 2x^4 [/mm] + [mm] 2x^2y^2 [/mm] + [mm] y^4>0 [/mm] (Quadrate sind positiv).
Also sind die Funktionswerte in jeder Umgebeung von (0,0) größer als g(0,0)=0.
Gruß v. Angela
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