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| Aufgabe | Gegeben sei eine Wirkungsfunktion abhängig von Dosis x und Zeit t eines Medikaments: [mm] W(x, t) = cx^2(30-x)t^2e^{-t}[/mm] mit [mm] c > 0 [/mm]. Bestimmen sie alle Kombinationen von x und t, bei denen die Wirkung maximal wird.
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Danke sehr, ich hab allerdings noch eine Frage zu dieser Aufgabenstellung hier. Ich hab den Gradienten ausgerechnet:
[mm]grad W = \vektor{ct^2e^{-t}(60x-3x^2) \\ cx^2(30-x)e^{-t}(2t-t^2)}[/mm]
und komm jetzt nicht so richtig weiter. Ich muss den ja gleich Null setzen und das hab ich auch gemacht, aber da krieg ich als Lösungen gerade die beiden Achsen, als (x,0) und (0,t) raus. Stimmt das? Und wie soll ich dann damit weiterrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo micha!
Da gibt es aber deutlich mehr Lösungen, wenn Du hier beide partiellen Ableitungen gleich Null setzt:
[mm] $$c*t^2*e^{-t}*(60x-3x^2) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$c*x^2*(30-x)*e^{-t}*(2t-t^2) [/mm] \ = \ $$
Was ist denn z.B. mit $x \ = \ 20$ oder auch $t \ = \ 2$ ?
Gruß
Loddar
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Die funktionieren doch jeweils nur in einer der Gleichungen, niemals aber in Beiden (letztlich natürlich schon, aber nur, wenn die jeweils andere Komponente Null ist, und den Fall decken ja (x,0) und (0, t) ab).
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Hallo micha_goes_ti,
> Die funktionieren doch jeweils nur in einer der
> Gleichungen, niemals aber in Beiden (letztlich natürlich
> schon, aber nur, wenn die jeweils andere Komponente Null
> ist, und den Fall decken ja (x,0) und (0, t) ab).
Die Lösungen, welche Loddar angegeben hat, funktionieren in beiden Gleichungen:
[mm] c\cdot{}t^2\cdot{}e^{-t}\cdot{}(60x-3x^2) \ = \ 0 [/mm]
Hieraus folgt: [mm]t^{2}=0 \vee 60x-3x^{2}=0[/mm]
[mm]\gdw t^{2}=0 \vee 3x*\left(20-x\right)=0[/mm]
[mm]\gdw t=0 \vee x=0 \vee x=20[/mm]
Betrachten wir den Fall x=20.
Für die 2. Gleichung muß
[mm]c\cdot{}x^2\cdot{}(30-x)\cdot{}e^{-t}\cdot{}(2t-t^2)=0[/mm]
gelten.
Aus [mm]x^{2}*\left(30-x\right) \not=0 [/mm] für x=20 folgt
[mm]2t-t^{2}=0[/mm], woraus [mm]t=0 \vee t=2[/mm] folgt.
Damit gelten die Gleichungen auch für x=20 und t=2.
Gruß
MathePower
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In der Tat :) Danke, daran hab ich nicht gedacht. Gut, mit dem Punkt komm ich klar. Aber wie untersuche ich denn die Achsen (x,0) und (0,t) weiter?
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Hallo micha_goes_ti,
> In der Tat :) Danke, daran hab ich nicht gedacht. Gut, mit
> dem Punkt komm ich klar. Aber wie untersuche ich denn die
> Achsen (x,0) und (0,t) weiter?
Entweder bildest Du die Hesse-Matrix (Eine Matrix der zweiten partiellen Ableitungen).
Oder Du setzt die Werte in [mm]W\left(x.t\right)[/mm] ein,
und entscheidest dann. welche Art von Extrema das ist.
Gruß
MathePower
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