Extrempunkt für n^x/x! bestimmen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Für welches [mm]x\in\IN[/mm] hat die Funktion [mm]f(x)=\frac{n^x}{x!}[/mm] ihren Extrempunkt (in Abhängigkeit von n)? . Meine Überlegungen führten mich auf [mm]x=n-1[/mm] und [mm]x=n[/mm], doch kann man dies auch durch sture Analysis begründen? Eine Ableitung von x! ist mir nicht bekannt, wie kommt man da denn dann ran? Gibt es eine Möglichkeit?
Gruß und Dank,
Hanno
PS: Was mache ich bei solchen Fragen? Ich bin zwar Schüler, aber das macht man ja nicht in der Schule. In der Uni wohl auch nicht, aber irgendwohin muss es ja gepostet weren. Wenn es also falsch ist, weißt mich bitte darauf hin. Danke
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Marc,
$x$ ist ein Element aus den natürlichen Zahlen... meint das dann nicht schon automatisch die "normale" Fakultät?
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Ja, so meinte ich das auch. Ich meine die "stinknormale" *g* Fakultät von x.
Gruß
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan und Hanno,
> Ja, so meinte ich das auch. Ich meine die "stinknormale"
> *g* Fakultät von x.
Okay, ich hatte [mm] $x\in\IN$ [/mm] überlesen.
Aber trotzdem verstehe ich es noch nicht -- suchst die Extrempunkte, die an Stellen [mm] $\in\IN$ [/mm] liegen (dann müßtest du mir doch noch definieren, was x! für reelles x bedeutet) oder ist die Funktion nur für natürliche Zahlen definiert?
Was gilt also:
[mm] $f:\IN\to\IR$
[/mm]
oder
[mm] $f:\IR\to\IR$?
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 So 18.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Marc.
Tut mir leid, dass ich jetzt erst antworte, ich habe Probleme mit meinem Rechner.
--
Also das Ganze ist eine Abbildung [mm]f:\IN\to\IR[/mm].
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo m00xi
möglicherweise kommt man über die Gamma-Funktion heran(?)
Ich habe aber einfach mal folgende Ueberlegungen angestellt:
Da die Funktion offensichtlich beim gesuchten Punkt ein Maximum haben muss (sie strebt ja mit $x [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $0$), sollte bei dem gesuchten $x$ die folgende Ungleichung gelten:
[mm] $\bruch{n^{x-1}}{(x-1)!} \le \bruch{n^{x}}{x!} \ge \bruch{n^{x+1}}{(x+1)!}$
[/mm]
oder
[mm] $\bruch{x*n^{x-1}}{x!} \le \bruch{n^{x}}{x!} \ge \bruch{n^{x+1}}{(x+1)*x!}$
[/mm]
Das Ganze multipliziert mit $x!$:
[mm] $x*n^{x-1} \le n^{x} \ge \bruch{n^{x+1}}{x+1}$
[/mm]
Wenn ich jetzt nur mal die rechte Seite der Ungleichung weiterverfolge:
[mm] $n^{x} \ge \bruch{n^{x+1}}{x+1}$
[/mm]
[mm] $(x+1)n^{x} \ge n^{x+1}$
[/mm]
[mm] $(x+1)n^{x} \ge n*n^{x}$
[/mm]
Hier darf man sohl ohne Weiteres durch [mm] $n^{x}$ [/mm] dividieren:
$x+1 [mm] \ge [/mm] n$
Die Linke Seite der obigen Ungleichungen sollten sich ähnlich einfach auflösen lassen.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Sa 17.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Paulus,
deine Idee, einfach zwei aufeinanderfolgende Werte zu vergleichen, funktioniert sehr gut.
Für natürliche Zahlen n und x vergleichen wir [mm] f(x)={n^x}/{x!} [/mm] mit [mm] f(x+1)={n^{x+1}}/{(x+1)!}.
[/mm]
Die Tilde [mm] $\sim$ [/mm] steht für ein beliebiges Relationszeichen aus =, <, >.
[mm] ${n^x}/{x!} \sim {n^{x+1}}/{(x+1)!}$ [/mm] | [mm] $\cdot [/mm] (x+1)!, / [mm] n^x, [/mm] -1$
[mm] $\Leftrightarrow$
[/mm]
$x [mm] \sim [/mm] n-1$
Für x=n-1 ist f(x)=f(x+1), also f(n-1)=f(n).
Für x<n-1 ist f(x)<f(x+1), also x kein Maximum.
Für x>n-1 ist f(x)>f(x+1), also x+1 kein Maximum.
Damit sind x=n-1 und x=n die beiden globalen Maxima.
Gruss,
SirJective
PS: Hanno, willkommen im Matheraum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 So 18.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Die Begründungen leuchten mir ja alle ein, doch ging es mir primär darum, dass ganze mit knallharter "Ableite- und Extremwert" Analysis zu begründen :-O
Meine Begründung, wenn wir schon dabei sind, war:
FÜr jede Inkrementierung von x im Term [mm]\frac{n^x}{x!}[/mm] wird im Nenner ein n als Faktor hinzugefügt, im Zähler erweitert sich das Produkt um den Faktor x. So lange n also größer als x ist, wächst der Zähler schneller. Wenn x=n ist, dann werden sowohl Zähler als auch Nenner mit n multipliziert. Daher liegt das Maximum bei x=n(+1).
Gruß
Hanno
PS: Danke SirJective  Kannst mich mal privat ansprechen bitte ( ICQ ), ich habe deine Nummer nicht mehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 So 18.07.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo m00xi!
>> doch ging es mir primär darum, dass ganze mit knallharter "Ableite- und Extremwert" Analysis zu begründen
Ich möchte dich nur darauf hinweisen, dass es unmöglich ist, die Aufgabe mit der Ableitung der Funktion zu lösen, da sie gar nicht existiert. Um differnzierbar zu sein, müsste sie ja eine Funktion von einer Teilmenge von R, in der jeder Punkt Häufungspunkt ist, nach R sein. Funktionen von N nach R (Folgen) kann man nicht ableiten.
Gruß Clemens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 18.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Clemens.
Hm stimmt, aber was wäre, wenn man die Funktion als [mm]f:\IR\to\IR[/mm] definieren würde? Ginge es dann? Phillip hat schon Digamma und Gammafunktion vorgeschlagen, gibt es sonst noch Alternativen?
Gruß
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 So 18.07.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo m00xi!
>>Hm stimmt, aber was wäre, wenn man die Funktion als f: R --> R definieren würde? Ginge es dann?
Das hängt davon ab, wie die auf R erweiterte Defintion der Fakultät lautet. Ich kenne sie nicht. Dir muss aber klar sein, dass du eine auf N definierte Folge ja im Prinzip auf R erweitern kannst, wie du willst. Wenn du zum Beispiel die Folge f: N --> R, n --> 10n - [mm] n^2 [/mm] durch Ableiten auf Extremstellen untersuchen willst, kanns du f ja erweitern durch z. B.:
[mm] f_1: [/mm] R --> R, x --> 10x - [mm] x^2
[/mm]
oder:
[mm] f_2: [/mm] R --> R, x --> x*sin(x*Pi) + 10x - [mm] x^2
[/mm]
oder:
[mm] f_3: [/mm] R --> R, x --> cos(2x*pi)*(10x - [mm] x^2)
[/mm]
Alle diese Funktionen haben bei ganzzahligen, positiven Stellen die gleichen Werte wie die urprüngliche Folge und stellen damit eine Erweiterung auf R dar. Sie haben aber unterschiedlich Extremstellen und das Ganze hat im Prinzip nichts mehr mit der ursprünglichen Folge zu tun.
Wenn die auf R erweiterte Fakultät der auf N definierten ähnelt (also zum Beispiel streng monoton steigend ist), dann kann man mit einer Extremwertbestimmung auf R und dann dem Rückschluss auf N sicher zu guten Ergebnissen kommen.
Gruß Clemens
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Nunja, wenn wir es als Funktion von R nach R auffassen wollen, brauchen wir ja erstmal eine vernünftige Definition für x! mit [mm] $x\in\mathbb{R}_{>0}$. [/mm] Diese liefert eben gerade die von mir angesprochene Gamma-Funktion, nämlich
[mm] $x!=\Gamma(x+1)$ [/mm] für [mm] $x\in\mathbb{R}_{>0}$ [/mm] . Und um deren Ableitung darzustellen, benötigt man dann die Digammafunktion. Ich sehe da keine Alternative.
Dass die Gammafunktion eine im Sinne von Clemens "vernünftige" Interpolation der Fakultät ist, ist übrigens dadurch sichergestellt, dass sie folgende Eigenschaften hat (die sie übrigens eindeutig festlegen, wie man zeigen kann):
1. [mm] $\Gamma(1)=1$
[/mm]
2. [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}_{>0}: \:\Gamma(x+1)=\Gamma(x)\cdot [/mm] x $
3. Die [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] ist logarithmisch konvex.
1. und 2. stellen [mm] $n!=\Gamma(n+1)$ [/mm] für $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] sicher. Außerdem ist 2 so etwas wie die Funktionalgleichung der Fakultät in [mm] $\mathbb{N}$, [/mm] diese erwartet man auch von einer Fakultät in [mm] $\mathbb{R}$. [/mm]
3. stellt außerdem sicher, dass das Krümmungsverhalten des Graphen der [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] dem entspricht, was man auf Basis der Funktionswerte in den natürlichen Zahlen erwarten würde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 So 18.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Phillip.
So weit, so gut. Wie geht es denn nun weiter?
Und woher weißt du das alles? Du bist doch erst 18!
Studierst du schon?
Gruß
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:07 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Das Problem ist, dass die Digammafunktion, also die logarithmische Ableitung der Gammafunktion analytisch so schlecht handhabbar ist, dass man exakte Lösungen hier nicht bestimmen kann, also nur entweder Abschätzungen vornehmen kann oder numerisch was berechnen könnte. Beides macht aber keinen wirklichen Sinn, da dann das Ausgangsproblem einfacher wäre als die Probleme, die sich innerhalb der gewählten Lösung auftun.
Deine Idee, die Fakultät differenzierbar zu interpolieren, war aber trotzdem sehr gut. Sie hat halt hier nicht zum Ziel geführt, aber das war aus deiner Sicht nicht absehbar. Schön, dass du dir trotzdem diese Gedanken gemacht hast.
Was du hier aus der Aufgabe lernen kannst, ist Folgendes:
1) Es gibt eine Interpolation der Fakultät mit "schönen Eigenschaften", die Gammafunktion. (Dass es auch eine Digammafunktion gibt, ist uninteressant, da dies einfach die logarithmische Ableitung ist.)
2) Aufgaben im diskreten Rahmen sollte man zunächst versuchen auch im diskreten Rahmen zu lösen.
3) Eine Verstetigung kann manchmal durchaus sinnvoll sein, da gibt es zahlreiche Beispiele. Grund: Die Analysis bietet im Allgemeinen mächtigere Instrumente als die diskrete Mathematik.
4) Sie kann aber auch in Sackgassen führen, wie hier. Das passiert insbesondere dann, wenn Integrale nicht geschlossen lösbar sind.
Da wir die Aufgabe ja diskret gelöst haben, sollten wir an dieser Stelle die Frage für beantwortet erklären. Wie gesagt: Eine analytisch (exakte!) Berechnung der Extrema ist schlicht nicht möglich, nur in Form von Abschätzungen oder numerischen Approximationen.
Da du Philipp direkt angesprochen hast: Du kannst ihm ja noch einmal eine PN schreiben und fragen, ob er schon studiert. Bitte respektiere dann aber, wenn er darauf nicht antworten möchte. (Denk bitte an unsere kleine Abmachung.  )
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho Stefan.
Was meinst du mit "Verstetigung"? Diesen Begriff habe ich ja noch nie gehört :-O
Unter einer diskreten Lösung gegenüber eine analytischen versteht man also eine "logische" Lösung oder wie kann ich mir das vorstellen? In einem meiner Bücher über eben Diskrete Mathematik geht es um alles Mögliche, Graphen- und Zahlentheorie, Modulare Arithmetik, aber so einen Gesamteindruck, warum man das diskret nennt - und warum du dies hier auch tust - der fehlt mir noch.
Es gibt auch ein Buch über die Gammafunktion, soll man angeblich in den Bibliotheken finden, wenn ich Zeit habe und ein wenig weiter mit der Analysis bin, dann schaue ich da mal rein. Heut kommt erstmal "der Heuser"
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Auch analytische Lösungen sind "logisch".
Unter diskreten Lösungen meine ich Lösungen im diskreten Rahmen, also Lösungen, wo man sich in diskreten Mengen (wie z.B. [mm] $\IN$, $\IZ$) [/mm] bewegt und keine Methoden aus der Analysis auf kontinuierlichen Räumen (wie [mm] $\IR$) [/mm] verwendet (also stattdessen im Wesentlichen Abschätzungen, graphentheoretische und kombinatorische Überlegungen einfließen lässt, salopp gesagt).
Mit "Verstetigung" meine ich die Interpolation einer diskreten Funktion (z.B. $f : [mm] \IZ \to \IR$) [/mm] zu einer stetigen (möglichst sogar hinreichend glatten) Funktion (z.B. [mm] $\tilde{f} [/mm] : [mm] \IR \to \IR$), [/mm] mit der man dann Analysis betreiben kann.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Danke! Macht ja im Nachhinein auch Sinn, es "verstetigen" zu nennen, da man ja die Definitionslücken füllt, die die Funktion vorher noch hatte. Aber Interpolation gefällt mir besser
Danke.
Gruß
Hanno
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:45 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Philipp-ER |
Hi m00xi.
(Siehe unten, ist inzwischen reineditiert.)
Ich bin gerade beim Schreiben der Antwort etwas ins Grübeln gekommen, ich muss das erstmal noch genauer durchrechnen. Ich werde das dann hier rein editieren, sieht gar nicht so unvielversprechend aus.
Um kurz auf deine direkte Frage zu antworten:
Ich gehe im Moment noch zur Schule und dort habe ich das nicht gelernt.
Die Gammafunktion fasziniert mich schon lange, ich habe mich deshalb einigermaßen intensiv mit ihr beschäftigt und weiß somit ein bisschen was über sie. Bei Diskussionen im Internet habe ich außerdem viel gelernt, das dürfte dir ja ähnlich gehen.
Edit:
Also, es ging dir ja um eine ganzzahlige Nährungslösung.
Ich habe gezeigt, dass die Extremstelle deiner Funktion die Gleichung
[mm] $\Psi(x+1)=\ln(n)$ [/mm] löst.
Tollerweise gilt die Abschätzung:
[mm] $\ln(x-1)<\Psi(x)<\ln(x)$ [/mm] bzw
[mm] $\ln(x)<\Psi(x+1)<\ln(x+1)$
[/mm]
Für x=n ergibt sich hier nach entsprechendem Rüberbringen:
[mm] $0<\Psi(n+1)-\ln(n)$
[/mm]
bzw für x=n-1
[mm] $\Psi(n)-\ln(n)<0$
[/mm]
Damit folgt, dass die Funktion
[mm] $\Psi(x+1)-\ln(n)$ [/mm] im Intervall [n-1;n] ihre (einzige) Nullstelle hat und damit die Ausgangsfunktion ihr einziges Extremum. Ich denke, dass man wegen der strengen Monotonie von [mm] $\Psi(x)$ [/mm] etc daraus dann auch folgern kann, dass für n-1 oder für n der maximale Wert der Ausgangsfunktion bei natürlichem Argument angenommen wird.
Ich denke aber nochmal drüber nach.
@stefan:
Du sprichst von einem "nicht geschlossen lösbaren Integral". Was ist das?
Warum sollte außerdem die Gleichung
[mm] $\Psi(x)=5$ [/mm] schlechter lösbar sein als die Gleichung [mm] $\exp(x)=5$? [/mm] Auch letztere ist nicht geschlossen lösbar, man behilft sich einfach mit der Definition einer Umkehrfunktion, nachdem man ihre Existenz gezeigt hat und begnügt sich mit einem Funktionswert dieser Funktion, obwohl einem dieser ja auch nur numerisch oder durch Abschätzungen zugänglich ist (denn was ist bitte ln(5)?). Warum sollte das bei [mm] $\Psi$ [/mm] nicht auch so gehen? Sie ist umkehrbar, also gibt es die Umkehrfunktion, nennen wir sie [mm] $\Psi^{-1}$ [/mm] und schwubs, die Lösung ist [mm] $\Psi^{-1}(5)$ [/mm] bzw bei diesem Problem hier ist der exakte Wert der Extremstelle [mm] $\Psi^{-1}(\ln(n))-1$. [/mm] Ich sehe nicht, warum das analytisch schlecht handhabbar ist oder wie auch immer du es genannt hast, die Lösung ist doch genauso exakt wie eine Lösung mit einem Logarithmus.
Bitte kläre mich auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Mi 21.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Philipp!
Sehe gerade dein Edit:
> @stefan:
> Du sprichst von einem "nicht geschlossen lösbaren
> Integral". Was ist das?
> Warum sollte außerdem die Gleichung
> [mm]\Psi(x)=5[/mm] schlechter lösbar sein als die Gleichung
> [mm]\exp(x)=5[/mm]? Auch letztere ist nicht geschlossen lösbar, man
> behilft sich einfach mit der Definition einer
> Umkehrfunktion, nachdem man ihre Existenz gezeigt hat und
> begnügt sich mit einem Funktionswert dieser Funktion,
> obwohl einem dieser ja auch nur numerisch oder durch
> Abschätzungen zugänglich ist (denn was ist bitte ln(5)?).
> Warum sollte das bei [mm]\Psi[/mm] nicht auch so gehen? Sie ist
> umkehrbar, also gibt es die Umkehrfunktion, nennen wir sie
> [mm]\Psi^{-1}[/mm] und schwubs, die Lösung ist [mm]\Psi^{-1}(5)[/mm] bzw bei
> diesem Problem hier ist der exakte Wert der Extremstelle
> [mm]\Psi^{-1}(\ln(n))-1[/mm]. Ich sehe nicht, warum das analytisch
> schlecht handhabbar ist oder wie auch immer du es genannt
> hast, die Lösung ist doch genauso exakt wie eine Lösung mit
> einem Logarithmus.
Ja, okay, ich gebe mich geschlagen, du hast Recht. Ich wusste auch nicht, dass [mm] $\Psi$ [/mm] umkehrbar ist
(aber klar, ist ja logisch, hätte ich sehen müssen ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ). Vielleicht hätte ich mir das vorher erst besser überlegen sollen, tut mir leid.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo m00xi.
Eine Ableitung von x! ist
[mm] $\Psi(x+1)\Gamma(x+1)$
[/mm]
mit der Digamma-Funktion [mm] $\Psi$ [/mm] und der Gammafunktion [mm] $\Gamma$
[/mm]
Wenn man deine Folge als Funktion von R nach R mit Parameter n auffasst und ihre Ableitung nach x bildet, bekommt man
[mm] $f'_n(x)=n^x\frac{\ln(n)-\Psi(x+1)}{\Gamma(x+1)}$
[/mm]
wie du selbst leicht nachrechnest.
Die Suche nach Extremwerten führt also auf die Gleichung
[mm] $\Psi(x+1)=\ln(n)$
[/mm]
und unter Umständen könnte man hier mit einer geschickten Abschätzung von [mm] $\Psi(x)$ [/mm] einen ganzzahligen Nährungswert für die Lösung bekommen.
Ich werde mal darüber nachdenken, wenn du noch Interesse hast.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 So 18.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Phillip.
Ich kenne die Gamma und Digamma Funktionen noch nicht. Daher kann ich dazu nicht viel sagen. Wenn ich Zeit habe, schaue ich sie mir mal an und dann können wir ja vielleicht weiterreden.
Danke schonmal,
Gruß
Hanno
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
