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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Do 12.04.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Ich habe hier folgende Funktion:
mit t>0
[mm] f_t(x)=\bruch{1}{6t}*(x-t)^2*(x+t)^2
[/mm]
Die ist Punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Wertebereich sagt ja, dass der Graph nicht unter die x-Achse geht
Nun kann man relativ einfach die Nullstellen berechnen: [mm] N_1(t/0), N_2(-t/0)
[/mm]
Wir haben zwei Nullstellen und da [mm] f_t(x) [/mm] für x gegen +/-unendlich [mm] f_t(x) [/mm] gegen +unendlich
Also kann man logisch darauf schließen, dass der Graph drei Extrempunkte hat und diese müssten dann ja den Schnittpunkten mit den Koordinaten Achsen entsprechen...und die musste ich zuvor schon ausrechnen.
Kann man das so begründen, ohne großartig mit erster und zweiter Ableitung rumzurechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Do 12.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hi,
> Hallo!
> Ich habe hier folgende Funktion:
> mit t>0
> [mm]f_t(x)=\bruch{1}{6t}*(x-t)^2*(x+t)^2[/mm]
> Die ist Punktsymmetrisch zum Ursprung.
> Der Wertebereich sagt ja, dass der Graph nicht unter die
> x-Achse geht
die Funktion ist nicht punktsymmetrisch, sondern y-Asche symmetrisch.
> Nun kann man relativ einfach die Nullstellen berechnen:
> [mm]N_1(t/0), N_2(-t/0)[/mm]
> Wir haben zwei Nullstellen und da
> [mm]f_t(x)[/mm] für x gegen +/-unendlich [mm]f_t(x)[/mm] gegen +unendlich
> Also kann man logisch darauf schließen, dass der Graph
> drei Extrempunkte hat und diese müssten dann ja den
> Schnittpunkten mit den Koordinaten Achsen entsprechen...und
Du hast richtig überlegt, dass der Graph nicht unter die x-Asche geht, dann sollen die beiden Nullstellen zwei Tiefpunkten sein. Der Hochpunkt liegt dann zwangsläufig zwischen zwei Tiefpunkten und zwar genau in der Mitte, da die Funktion achsensymmetrisch ist.
> die musste ich zuvor schon ausrechnen.
> Kann man das so begründen, ohne großartig mit erster und
> zweiter Ableitung rumzurechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Do 12.04.2007 | | Autor: | ONeill |
> die Funktion ist nicht punktsymmetrisch, sondern y-Asche
> symmetrisch.
Ja stimmt, war ein Tippfehler.
>
> Du hast richtig überlegt, dass der Graph nicht unter die
> x-Asche geht, dann sollen die beiden Nullstellen zwei
> Tiefpunkten sein. Der Hochpunkt liegt dann zwangsläufig
> zwischen zwei Tiefpunkten und zwar genau in der Mitte, da
> die Funktion achsensymmetrisch ist.
Ok Wunderbar. Danke!
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Hallo ONeill!
Du kannst hier auch argumentieren, dass bei [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -t$ bzw. [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +t$ jeweils doppelte Nullstellen vorliegen. Damit existieren dort auch Nullstellen der 1. Ableitung und demnach auch (aller Voraussicht nach  ) Extremstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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