Extremstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Sa 29.11.2008 | | Autor: | F4enja |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe in meiner Mathevorlesung gelernt, dass es drei "Kandidaten" gibt, welche eine Extremstelle sein können.
1. Randpunkte von I ( Definitionsbereich)
2. Punkte wo f nicht differenzierbar ist
und 3. Punkte wo f´(x)=0
Die Stelle mit der ersten Ableitung nachzuweisen ist ja leicht, entweder Vorzeichenwechsel oder die zweite Ableitung bilden. Wie macht man das aber mit den ersten Beiden??
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich habe in meiner Mathevorlesung gelernt, dass es
> drei "Kandidaten" gibt, welche eine Extremstelle sein
> können.
> 1. Randpunkte von I ( Definitionsbereich)
> 2. Punkte wo f nicht differenzierbar ist
> und 3. Punkte wo f´(x)=0
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> Die Stelle mit der ersten Ableitung nachzuweisen ist ja
> leicht, entweder Vorzeichenwechsel oder die zweite
> Ableitung bilden. Wie macht man das aber mit den ersten
> Beiden??
Da musst du dir das Verhalten der Funktion in der Umgebung der Kandidaten anschauen.
Beispiel: $f(x) = x-1 $ auf dem Intervall $[-1,1]$. Durch Anstarren des Graphen siehst du hier, dass die Endpunkte $x=-1$ und $x=+1$ Minimum bzw. Maximum der Funktion sind. Hier ist es sogar einfacher, weil die Funktion im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend und sogar differenzierbar ist. Da die links- bzw. rechtsseitige Ableitung also an den Rändern des Intervalls existiert und positiv ist, muss die Funktion am linken Ende ein Minimum, am rechten Ende ein Maximum haben.
Ist die Funktion nicht differenzierbar, hilft nur genaue Betrachtung. Vergleiche:
[mm] f_1(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ 1/2 & x = 0 \\1 & x> 0 \end{cases} [/mm]
und
[mm] f_2(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ 2 & x = 0 \\1 & x> 0 \end{cases} [/mm]
Offensichtlich sind beide Funktionen im Punkt x=0 nicht differenzierbar. Welche von Ihnen hat eine Extremstelle?
Viele Grüße
Rainer
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