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| Aufgabe | E:= {(x,y) [mm] \el \IR^2: x^2+y^2 \ge [/mm] 1} die Einheitskreisscheibe
f: [mm] E->\IR [/mm] (x,y) -> [mm] x^3-3xy^2
[/mm]
a) f besitzt Extremstellen
b) Extremstellen bestimmen. |
Hier habe ich wieder das übliche Problem, wie ich mit der Nebenbedingung verfahren muss?
zu a) Die Beh. folgere ich aus dem Satz von Weierstraß, da stetige Fuktion, abgeschlossen und beschränkt (kompakte Teilmenge),....
zu b) nun soll ich die Extremstellen bestimmen:
Ich leite partiell ab: 1. nach x: [mm] 3x^2-3y^2
[/mm]
und 1. nach y: -6xy
Ich weiß, dass Extremstellen nur auf dem Rand (da kompakt) oder im Inneren vorkommen können!
Wer kann mir hier einen einfachen Weg zeigen, diese zu bestimmen?
Ich kann auch noch die 2.Abl. bilden:
2.Abl. nach x: 6x
2.Abl. nach y: -6x
Hesse Matrix kann ich auch aufstellen:
[mm] \pmat{ 6x& -6y \\ -6y & -6x }
[/mm]
stimmt diese?
Wenn ja, würde ich ohne Betracht der Nebenbed. die det. berechnen und die Spur betrachten,...-> lok. Extremstellen.
Ich habe hier wieder eine Musterlösung, mit Polarkoordinaten,....
die ich sehr aufwendig finde!
DANKE für jeden Hinweis!
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> $\ E:=\ [mm] \{(x,y) \in \IR^2\,:\ x^2+y^2 \ge1\}$ [/mm] die
> Einheitskreisscheibe ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Wenn die Ungleichung wirklich so ist wie sie dasteht,
ist E nicht die Einheitskreisscheibe, sondern ihr
(abgeschlossenes) Äußeres !
> f: [mm]E\to\IR\qquad\quad (x,y) \mapsto\ x^3-3xy^2[/mm]
> a) f besitzt Extremstellen
> b) Extremstellen bestimmen.
> Hier habe ich wieder das übliche Problem, wie ich mit der
> Nebenbedingung verfahren muss?
>
> zu a) Die Beh. folgere ich aus dem Satz von Weierstraß, da
> stetige Funktion, abgeschlossen und beschränkt (kompakte
> Teilmenge),....
Das klappt dann, wenn E tatsächlich die kompakte
Kreisscheibe ist, im umgekehrten Fall nur insofern,
als auch auf dem inneren Randkreis k der unbeschränkten
Menge E nach Weierstraß ein Minimum und ein Maxi-
mum angenommen wird, welche dann aber bezogen
auf E keineswegs global sein müssen.
> zu b) nun soll ich die Extremstellen bestimmen:
> Ich leite partiell ab: 1. nach x: [mm]3x^2-3y^2[/mm]
> und 1. nach y: -6xy
>
> Ich weiß, dass Extremstellen nur auf dem Rand (da kompakt)
> oder im Inneren vorkommen können!
>
> Wer kann mir hier einen einfachen Weg zeigen, diese zu
> bestimmen?
[mm] 3x^2-3y^2=0 [/mm] führt auf [mm] x^2=y^2 [/mm] und also auf $\ |x|=|y|$
$\ [mm] -6\,x\,y=0$ [/mm] führt auf [mm] $x\,y=0$ [/mm] und damit auf [mm] $x=0\,\vee\,y=0$
[/mm]
Der (einzige) Punkt, wo beide partiellen Ableitungen
von f verschwinden, liegt also im Nullpunkt und damit
nicht in der Menge E, welche du oben angegeben hast.
Übrigens hat f auch in O(0/0) kein Extremum, selbst
wenn die Definitionsmenge die Kreisscheibe wäre.
Wesentlich geht es demnach in der Aufgabe wirklich
nur noch um die (bezüglich E relativen) Randextrema.
Die kannst du z.B. durch trigonometrische Parametri-
sierung des Randkreises k oder z.B. nach der Methode
von Lagrange finden.
LG Al-Chw.
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> > [mm]\ E:=\ \{(x,y) \in \IR^2\,:\ x^2+y^2 \ge1\}[/mm] die
> > Einheitskreisscheibe
>
> Wenn die Ungleichung wirklich so ist wie sie dasteht,
> ist E nicht die Einheitskreisscheibe, sondern ihr
> (abgeschlossenes) Äußeres !
Nein! Natürlich ihr Inneres! Ich habe mich verschrieben! SORRY
>
> > f: [mm]E\to\IR\qquad\quad (x,y) \mapsto\ x^3-3xy^2[/mm]
> > a) f
> besitzt Extremstellen
> > b) Extremstellen bestimmen.
> > Hier habe ich wieder das übliche Problem, wie ich mit
> der
> > Nebenbedingung verfahren muss?
> >
> > zu a) Die Beh. folgere ich aus dem Satz von Weierstraß, da
> > stetige Funktion, abgeschlossen und beschränkt (kompakte
> > Teilmenge),....
>
> Das klappt dann, wenn E tatsächlich die kompakte
> Kreisscheibe ist, im umgekehrten Fall nur insofern,
> als auch auf dem inneren Randkreis k der unbeschränkten
> Menge E nach Weierstraß ein Minimum und ein Maxi-
> mum angenommen wird, welche dann aber bezogen
> auf E keineswegs global sein müssen.
>
> > zu b) nun soll ich die Extremstellen bestimmen:
> > Ich leite partiell ab: 1. nach x: [mm]3x^2-3y^2[/mm]
> > und 1. nach y: -6xy
> >
> > Ich weiß, dass Extremstellen nur auf dem Rand (da kompakt)
> > oder im Inneren vorkommen können!
> >
> > Wer kann mir hier einen einfachen Weg zeigen, diese zu
> > bestimmen?
>
> [mm]3x^2-3y^2=0[/mm] führt auf [mm]x^2=y^2[/mm] und also auf [mm]\ |x|=|y|[/mm]
>
> [mm]\ -6\,x\,y=0[/mm] führt auf [mm]x\,y=0[/mm] und damit auf
> [mm]x=0\,\vee\,y=0[/mm]
>
> Der (einzige) Punkt, wo beide partiellen Ableitungen
> von f verschwinden, liegt also im Nullpunkt und damit
> nicht in der Menge E, welche du oben angegeben hast.
> Übrigens hat f auch in O(0/0) kein Extremum, selbst
> wenn die Definitionsmenge die Kreisscheibe wäre.
> Wesentlich geht es demnach in der Aufgabe wirklich
> nur noch um die (bezüglich E relativen) Randextrema.
> Die kannst du z.B. durch trigonometrische Parametri-
> sierung des Randkreises k oder z.B. nach der Methode
> von Lagrange finden.
>
>
> LG Al-Chw.
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> > > [mm]\ E:=\ \{(x,y) \in \IR^2\,:\ x^2+y^2\ \red{\ge}\,1\}[/mm] die
> > > Einheitskreisscheibe
> >
> > Wenn die Ungleichung wirklich so ist wie sie dasteht,
> > ist E nicht die Einheitskreisscheibe, sondern ihr
> > (abgeschlossenes) Äußeres !
> Nein! Natürlich ihr Inneres! Ich habe mich verschrieben!
> SORRY
O.K. , dann haben wir also [mm]\ E:=\ \{(x,y) \in \IR^2\,:\ x^2+y^2\ \blue{\le}\,1\}[/mm]
Deine Fragen habe ich aber wohl eh schon beantwortet ...
> > > f: [mm]E\to\IR\qquad\quad (x,y) \mapsto\ x^3-3xy^2[/mm]
> > >
> a) f
> > besitzt Extremstellen
> > > b) Extremstellen bestimmen.
> > > Hier habe ich wieder das übliche Problem, wie ich
> mit
> > der
> > > Nebenbedingung verfahren muss?
> > >
> > > zu a) Die Beh. folgere ich aus dem Satz von Weierstraß, da
> > > stetige Funktion, abgeschlossen und beschränkt (kompakte
> > > Teilmenge),....
> >
> > Das klappt dann, wenn E tatsächlich die kompakte
> > Kreisscheibe ist, im umgekehrten Fall nur insofern,
> > als auch auf dem inneren Randkreis k der
> unbeschränkten
> > Menge E nach Weierstraß ein Minimum und ein Maxi-
> > mum angenommen wird, welche dann aber bezogen
> > auf E keineswegs global sein müssen.
> >
> > > zu b) nun soll ich die Extremstellen bestimmen:
> > > Ich leite partiell ab: 1. nach x: [mm]3x^2-3y^2[/mm]
> > > und 1. nach y: -6xy
> > >
> > > Ich weiß, dass Extremstellen nur auf dem Rand (da kompakt)
> > > oder im Inneren vorkommen können!
> > >
> > > Wer kann mir hier einen einfachen Weg zeigen, diese zu
> > > bestimmen?
> >
> > [mm]3x^2-3y^2=0[/mm] führt auf [mm]x^2=y^2[/mm] und also auf [mm]\ |x|=|y|[/mm]
>
> >
> > [mm]\ -6\,x\,y=0[/mm] führt auf [mm]x\,y=0[/mm] und damit auf
> > [mm]x=0\,\vee\,y=0[/mm]
> >
> > Der (einzige) Punkt, wo beide partiellen Ableitungen
> > von f verschwinden, liegt also im Nullpunkt und damit
> > nicht in der Menge E, welche du oben angegeben hast.
> > Übrigens hat f auch in O(0/0) kein Extremum, selbst
> > wenn die Definitionsmenge die Kreisscheibe wäre.
> > Wesentlich geht es demnach in der Aufgabe wirklich
> > nur noch um die (bezüglich E relativen) Randextrema.
> > Die kannst du z.B. durch trigonometrische Parametri-
> > sierung des Randkreises k oder z.B. nach der Methode
> > von Lagrange finden.
> >
> >
> > LG Al-Chw.
>
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> E:= {(x,y) [mm]\el \IR^2: x^2+y^2 \ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1} die
> Einheitskreisscheibe
> f: [mm]E->\IR[/mm] (x,y) -> [mm]x^3-3xy^2[/mm]
> a) f besitzt Extremstellen
> b) Extremstellen bestimmen.
> Hier habe ich wieder das übliche Problem, wie ich mit der
> Nebenbedingung verfahren muss?
>
> zu a) Die Beh. folgere ich aus dem Satz von Weierstraß, da
> stetige Fuktion, abgeschlossen und beschränkt (kompakte
> Teilmenge),....
>
> zu b) nun soll ich die Extremstellen bestimmen:
> Ich leite partiell ab: 1. nach x: [mm]3x^2-3y^2[/mm]
> und 1. nach y: -6xy
>
> Ich weiß, dass Extremstellen nur auf dem Rand (da kompakt)
> oder im Inneren vorkommen können!
>
> Wer kann mir hier einen einfachen Weg zeigen, diese zu
> bestimmen?
>
> Ich kann auch noch die 2.Abl. bilden:
> 2.Abl. nach x: 6x
> 2.Abl. nach y: -6x
>
> Hesse Matrix kann ich auch aufstellen:
> [mm]\pmat{ 6x& -6y \\ -6y & -6x }[/mm]
Kann mir diese Ergebnisse jemand bestätigen?
> stimmt diese?
> Wenn ja, würde ich ohne Betracht der Nebenbed. die det.
> berechnen und die Spur betrachten,...-> lok.
> Extremstellen.
> Ich habe hier wieder eine Musterlösung, mit
> Polarkoordinaten,....
> die ich sehr aufwendig finde!
Ich habe hier noch weitergerechnet und komme auf det der Hesse-Matrix = 0 -> semidefinit! Richtig?
>
> DANKE für jeden Hinweis!
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Hallo pippilangstrumpf,
für die Suche nach den (bezüglich der Definitions-
menge E relativen) Extrema auf dem Randkreis k
würde ich doch die trigonometrische Parametrisie-
rung (x=cos t, y=sin t) oder die Methode mit den
Lagrangeschen Multiplikatoren empfehlen.
LG Al-Chw.
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