Extremstellen errechnen! < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 06.06.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion f (x).
Mit der 1. Ableitung sollen wir mögliche Extremstellen dieser Funktion ausrechnen.
a.) f (x) = sin (x) - x
b.) f (x) = [mm] x^4 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 3
c.) f (x) = [mm] x^2 [/mm] + (2)/(x)
d.) f (x) = cos (x) + [mm] \bruch{x}{\wurzel{2}} [/mm] |
Okay,
Fange am besten gleich mal an.
War eigentlich nicht so schwer, habe nur ab und zu ein paar kleinere Fragen, wäre natürlich mal wieder super wenn ihr mir dort eventuell weiterhelfen könntet.
Aufgabe a.)
f (x) = sin (x) - x
f'(x) = cos (x) - 1
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
cos (x) - 1 = 0 | +1
cos (x) = 1
Nun muss ich dieses cos^-1 auf meinem GTR drücken damit ich [mm] x_E [/mm] rausbekomme :
[mm] x_E [/mm] = 0
Hier schon gleich die erste Frage. Diese ganzen Funktionen (cos, sin, tan) sind doch irgendwie periodisch oder so? Nun weiß ich aber nicht wie man das dann aufschreiben soll? Weil ich diese Funktionen nie hatte...
Wäre super wenn ihr mir da schonmal helfen könntet.
Aufgabe b.)
f (x) = [mm] x^4 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + 3
f'(x) = [mm] 4x^3- [/mm] 4x
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
[mm] 4x^3 [/mm] - 4x = 0
Hier klammere ich zuerst einmal x aus :
[mm] x(4x^2-4) [/mm] = 0
[mm] x_E_1 [/mm] = 0
[mm] 4x^2 [/mm] - 4 = 0 | +4
[mm] 4x^2 [/mm] = 4 | : 4
[mm] x^2 [/mm] = 1
Und hier kann ich ja erkennen das [mm] x_E_2 [/mm] = 1 und [mm] x_E_3 [/mm] = -1 sein muss.
Ist das denn so genug wenn ich's so Aufschreibe?
Weil so finde ich kann man besonders die Stelle - 1 sehr gut erkennen.
Aufgabe c.)
f (x) = [mm] x^2 [/mm] + (2)/(x)
f'(x) = 2x - (2)/(x²)
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
2x - (2)/(x²) = 0
Hier war ich mir irgendwie nicht sicher, da man zwar 0 ausklammern könnte und dies dann auch eine Extremstelle sein könnte, aber wenn ich das dann in f'(x) die 0 einsetzen würde, ginge es nicht da dort im Nenner 0 stehen würde und durch 0 kann man ja nicht teilen. Also lass ich es erstmal mit dem Ausklammern.
2x - (2)/(x²) = 0 | + (2)/(x²)
2x = (2)/(x²) | x²
[mm] 2x^3 [/mm] = 2 | :2
[mm] x^3 [/mm] = 1 | [mm] \wurzel[3]{1}
[/mm]
[mm] x_E [/mm] = 1
Also hier wäre es dann eigentlich nur die eine Extremstelle an der Stelle 1 oder? Nimmt man 0 auch dazu?
So und nun zur letzten Aufgabe d.)
f (x) = cos (x) + [mm] \bruch{x}{\wurzel{2}} [/mm]
f'(x) = -sin (x) + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
-sin (x) + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] = 0 | + sin (x)
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] = sin (x)
Hier müsste ich jetzt einfach sin^-1 [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] nehmen und hätte dann [mm] x_E [/mm] raus oder?
Demnach wäre [mm] x_E [/mm] bei 45° .
Aber schreibt man das in Grad? Und wie ist das hier wegen eine periodischen Funktion wie sie Sinus ja ist?
Danke euch mal wieder für eure Hilfe,
MfG
Kristof
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Di 06.06.2006 | | Autor: | Janyary |
> Gegeben ist eine Funktion f (x).
> Mit der 1. Ableitung sollen wir mögliche Extremstellen
> dieser Funktion ausrechnen.
>
> a.) f (x) = sin (x) - x
> b.) f (x) = [mm]x^4[/mm] - [mm]2x^2[/mm] + 3
> c.) f (x) = [mm]x^2[/mm] + (2)/(x)
> d.) f (x) = cos (x) + [mm]\bruch{x}{\wurzel{2}}[/mm]
> Okay,
> Fange am besten gleich mal an.
> War eigentlich nicht so schwer, habe nur ab und zu ein paar
> kleinere Fragen, wäre natürlich mal wieder super wenn ihr
> mir dort eventuell weiterhelfen könntet.
>
> Aufgabe a.)
>
> f (x) = sin (x) - x
> f'(x) = cos (x) - 1
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> cos (x) - 1 = 0 | +1
> cos (x) = 1
>
> Nun muss ich dieses cos^-1 auf meinem GTR drücken damit ich
> [mm]x_E[/mm] rausbekomme :
> [mm]x_E[/mm] = 0
>
> Hier schon gleich die erste Frage. Diese ganzen Funktionen
> (cos, sin, tan) sind doch irgendwie periodisch oder so? Nun
> weiß ich aber nicht wie man das dann aufschreiben soll?
> Weil ich diese Funktionen nie hatte...
> Wäre super wenn ihr mir da schonmal helfen könntet.
du koenntest auch einfach mal in deinem tafelwerk nachschaun, dort sollte ne tabelle sein, wo die wichtigsten x-werte mit zugehoerigen funktionswerten aufgefuehrt sind.
ja, winkelfunktionen sind periodisch, aber auch dort sollte dir dein tafelwerk weiterhelfen koennen. denn wenn du sie dir mal skizzierst, siehst du auch sofort die laenge der periode, fuer sin bzw. cos ist das [mm] 2\pi
[/mm]
die loesung kannst du dann angeben als [mm] x_{E}=0+k*2\pi ,k\in\IN [/mm]
> Aufgabe b.)
>
> f (x) = [mm]x^4[/mm] - [mm]2x^2[/mm] + 3
> f'(x) = [mm]4x^3-[/mm] 4x
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> [mm]4x^3[/mm] - 4x = 0
> Hier klammere ich zuerst einmal x aus :
> [mm]x(4x^2-4)[/mm] = 0
>
> [mm]x_E_1[/mm] = 0
>
> [mm]4x^2[/mm] - 4 = 0 | +4
> [mm]4x^2[/mm] = 4 | : 4
> [mm]x^2[/mm] = 1
>
> Und hier kann ich ja erkennen das [mm]x_E_2[/mm] = 1 und [mm]x_E_3[/mm] = -1
> sein muss.
> Ist das denn so genug wenn ich's so Aufschreibe?
> Weil so finde ich kann man besonders die Stelle - 1 sehr
> gut erkennen.
ja das ist so in ordnung.
> Aufgabe c.)
>
> f (x) = [mm]x^2[/mm] + (2)/(x)
> f'(x) = 2x - (2)/(x²)
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> 2x - (2)/(x²) = 0
>
> Hier war ich mir irgendwie nicht sicher, da man zwar 0
> ausklammern könnte und dies dann auch eine Extremstelle
> sein könnte, aber wenn ich das dann in f'(x) die 0
> einsetzen würde, ginge es nicht da dort im Nenner 0 stehen
> würde und durch 0 kann man ja nicht teilen. Also lass ich
> es erstmal mit dem Ausklammern.
das ist auch gut so, null wird nicht ausgeklammert. wenn du etwas ausklammerst, dividierst du ja quasi deinen term durch den wert, den du ausklammerst. und dass durch null an sich nicht dividiert wird, weisst du doch bestimmt.
> 2x - (2)/(x²) = 0 | + (2)/(x²)
> 2x = (2)/(x²) | x²
> [mm]2x^3[/mm] = 2 | :2
> [mm]x^3[/mm] = 1 | [mm]\wurzel[3]{1}[/mm]
> [mm]x_E[/mm] = 1
>
> Also hier wäre es dann eigentlich nur die eine Extremstelle
> an der Stelle 1 oder? Nimmt man 0 auch dazu?
ja hier ist nur die 1.
> So und nun zur letzten Aufgabe d.)
>
> f (x) = cos (x) + [mm]\bruch{x}{\wurzel{2}}[/mm]
> f'(x) = -sin (x) + [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
>
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> -sin (x) + [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] = 0 | + sin (x)
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] = sin (x)
>
> Hier müsste ich jetzt einfach sin^-1
> [mm](\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm] nehmen und hätte dann [mm]x_E[/mm] raus
> oder?
>
> Demnach wäre [mm]x_E[/mm] bei 45° .
> Aber schreibt man das in Grad? Und wie ist das hier wegen
> eine periodischen Funktion wie sie Sinus ja ist?
also zum einen solltest du deine x-werte im rad-modus berechnen. dann wuerde ich dir bei winkelfunktionen immer zuerst den blick ins tafelwerk empfehlen, weil dort eben die wichtigsten zugehoerigen funktionswerte tabellarisch aufgefuehrt sind.
wenn du nun also im rad-modus [mm] sin^{-1} [/mm] nimmst, erhaeltst du 0,7853... und das sind [mm] \bruch{1}{4}\pi, [/mm] wenn du ins tafelwerk schaust, wirst du feststellen, dass es noch einen zweiten wert gibt, wo der sin [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ist, naemlich bei [mm] \bruch{3}{4}\pi.
[/mm]
das sind also deine 2 loesungen. nun noch die periode von [mm] 2\pi [/mm] beachten und du erhaeltst
[mm] x_{E1}=\bruch{1}{4}\pi+k*2\pi, k\in\IN
[/mm]
[mm] x_{E2}=\bruch{3}{4}\pi+k*2\pi, k\in \IN
[/mm]
>
>
> Danke euch mal wieder für eure Hilfe,
> MfG
>
> Kristof
>
Bitte schoen,
LG Jany :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Di 06.06.2006 | | Autor: | Kristof |
Vielen Dank,
Und wieder was dazu gelernt *lach*
|
|
|
|
