Extremstellen mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien die Menge [mm] D=\{(x,y,z,t) \in \IR^4, x,y,z,t \ge 0 und x+y+z+t=1} [/mm] und die Funktion f: D [mm] \rightarrow \IR [/mm] definiert durch f(x,y,z,t)=xyzt.
Zeige, dass f ein Maximum hat und bestimme den Maximalwert. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Moin,
mein Ansatz
f(x,y,z,t)=xyzt mit nebenbedingung g(x,y,z,t)=x+y+z+t-1=0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=yzt, \bruch{\partial f}{\partial y}=xzt, \bruch{\partial f}{\partial z}=xyt, \bruch{\partial f}{\partial t}=xyz
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial x}=1 =\bruch{\partial g}{\partial y}=\bruch{\partial g}{\partial z}=\bruch{\partial g}{\partial t}
[/mm]
mit lagrange multiplikator erhalte dann folg. LGS:
[mm] \Delta [/mm] f- [mm] \lambda \Delta [/mm] g=0
(i) yzt- [mm] \lambda=0
[/mm]
(ii) xzt- [mm] \lambda=0
[/mm]
(iii)xyt- [mm] \lambda=0
[/mm]
(iv) xyz- [mm] \lambda=0
[/mm]
die (i) multipliziert mit (-1) und mit der (ii) addiert, erhalte dann -yzt+xzt=0 [mm] \Rightarrow [/mm] yzt = xzt [mm] \Rightarrow [/mm] y=x
die (i) multipl. mit (-1) und mit (iii) addiert: x=z
(i) multipliziert mit (-1) und mit (iv) addiert: x=t
alles in g einsetzen erhalte dann:
g(x,x,x,x)=x+x+x+x-1=0 [mm] \rightarrow [/mm] 4x=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x=1/4
d.h. x=y=z=t= 1/4. Ist das schon mein Maximum oder muss ich es noch überprüfen?
Extremstellen überprüfe mit hesse matrix, d.h.
[mm] H_f= \pmat{ 0 & zt & yt& yz \\ zt &0&xt & xz \\ yt &xt & 0& xy\\ yz& xz&xy&0} [/mm]
wenn ich die determinate diese matrix betrachtet ist sie somit 0, und sagt nicht aus ob Maximum oder Minimum ( Bzw es ist ein Sattelpunkt), oder?
falls das Maximum ist, diesen Wert in f einsetzen:
f= [mm] (1/4)^4-> [/mm] Maximalwert?
Ist es bis jetzt was ich gemacht habe, richtig?
ich bin für jede hilfe dankbar.
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Hallo questionpeter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien die Menge [mm]D=\{(x,y,z,t) \in \IR^4, x,y,z,t \ge 0 und x+y+z+t=1}[/mm]
> und die Funktion f: D [mm]\rightarrow \IR[/mm] definiert durch
> f(x,y,z,t)=xyzt.
> Zeige, dass f ein Maximum hat und bestimme den
> Maximalwert.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wenn du das schon ansprichst: in welchen denn ??
> Moin,
>
> mein Ansatz
> f(x,y,z,t)=xyzt mit nebenbedingung g(x,y,z,t)=x+y+z+t-1=0
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=yzt, \bruch{\partial f}{\partial y}=xzt, \bruch{\partial f}{\partial z}=xyt, \bruch{\partial f}{\partial t}=xyz[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial x}=1 =\bruch{\partial g}{\partial y}=\bruch{\partial g}{\partial z}=\bruch{\partial g}{\partial t}[/mm]
>
> mit lagrange multiplikator erhalte dann folg. LGS:
> [mm]\Delta[/mm] f- [mm]\lambda \Delta[/mm] g=0
>
> (i) yzt- [mm]\lambda=0[/mm]
> (ii) xzt- [mm]\lambda=0[/mm]
> (iii)xyt- [mm]\lambda=0[/mm]
> (iv) xyz- [mm]\lambda=0[/mm]
>
> die (i) multipliziert mit (-1) und mit der (ii) addiert,
> erhalte dann -yzt+xzt=0 [mm]\Rightarrow[/mm] yzt = xzt [mm]\Rightarrow[/mm]
> y=x
>
> die (i) multipl. mit (-1) und mit (iii) addiert: x=z
> (i) multipliziert mit (-1) und mit (iv) addiert: x=t
>
> alles in g einsetzen erhalte dann:
> g(x,x,x,x)=x+x+x+x-1=0 [mm]\rightarrow[/mm] 4x=1 [mm]\Rightarrow[/mm] x=1/4
>
> d.h. x=y=z=t= 1/4. Ist das schon mein Maximum oder muss ich
> es noch überprüfen?
Dies ist bestimmt kein Maximum. Ein solches wäre ein
maximaler Funktionswert der Funktion f.
Was du mit der Lösung mit x=y=z=t=1/4 gefunden hast,
ist ein kritischer Punkt der Funktion, also ein möglicher
Anwärter für einen lokalen Extremalpunkt der Funktion.
Natürlich muss jetzt untersucht werden, ob es sich wirklich
um eine Extremalstelle handelt, und falls ja, zu welcher
Art von Extremwert sie führt.
> Extremstellen überprüfe mit hesse matrix, d.h.
> [mm]H_f= \pmat{ 0 & zt & yt& yz \\ zt &0&xt & xz \\ yt &xt & 0& xy\\ yz& xz&xy&0}[/mm]
>
> wenn ich die determinate diese matrix betrachtet ist sie
> somit 0
Da scheinst du dich verrechnet zu haben !
> und sagt nicht aus ob Maximum oder Minimum ( Bzw
> es ist ein Sattelpunkt), oder?
> falls das Maximum ist, diesen Wert in f einsetzen:
>
> f= [mm](1/4)^4->[/mm] Maximalwert?
Ja, das wäre dann (falls wirklich eine Maximalstelle vorliegt),
der Maximalwert bzw. das gesuchte Maximum.
LG , Al-Chwarizmi
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