Extremstellenberechnung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Domee |
| Aufgabe | | [mm] x^4-8x^2-9 [/mm] |
Hallo Ihr Lieben,
habe die o.g. Aufgabe versucht wie folgt zu lösen, doch irgendwo scheint da ein Fehler entstanden zusein.
f(x) = [mm] x^4-8x^2-9
[/mm]
f`(x) = [mm] 4x^3-16x
[/mm]
f``(x)= [mm] 12x^2-16
[/mm]
f´´(x) = 12x
f´(x) = 0
[mm] 0=4x^3-16
[/mm]
[mm] 0=x^3-4 [/mm] /Wurzel
[mm] 0=x^2-2 [/mm] <--- dann P-Q Formel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Domee |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Wenn eine kurze Nachfrage bzgl. des Ausklammerns hätte ich.
Kann ich die 4 einfach mitnehmen, sprich
0 = [mm] 4x(x^2-4)
[/mm]
und wie verfahre ich dann weiter?
glg
Domee
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Wenn eine kurze Nachfrage bzgl. des Ausklammerns hätte
> ich.
>
> Kann ich die 4 einfach mitnehmen, sprich
>
> 0 = [mm]4x(x^2-4)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und wie verfahre ich dann weiter?
Nun, ein Produkt ist genau dann =0, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist
Also [mm]4x(x^2-4)=0[/mm]
[mm]\gdw 4x=0 \ \text{oder} \ x^2-4=0[/mm]
Also ...
>
> glg
>
> Domee
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Domee |
Kann ich jetzt auswählen? :)
dann 4*0 = 0
Gruß
Domee
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Hallo nochmal,
> Kann ich jetzt auswählen? :)
Nicht wählen, beide Fälle betrachten
> dann 4*0 = 0
Ja, der erste Faktor wird für $x=0$ zu 0
Und der andere?
>
> Gruß
>
> Domee
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Domee |
Für den anderen Faktor müsste x=2 gelten, oder?
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Hallo nochmal,
> Für den anderen Faktor müsste x=2 gelten, oder?
Auch ...
[mm]x^2-4=0\gdw x^2=4\[/mm]
[mm]\gdw x=2 \ \text{oder} \ x=\ldots[/mm]
Du bekommst insgesamt 3 Extremumskandidaten
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Domee |
Hallo,
deine Verschriftung leuchtet mir gerade nicht richtig ein.
Müsste da nicht 0 stehen, oder evtl 2?
Gruß
Domee
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> Hallo,
>
> deine Verschriftung leuchtet mir gerade nicht richtig ein.
> Müsste da nicht 0 stehen, oder evtl 2?
>
>
> Gruß
>
> Domee
Welche Beschriftung? Oder was genau stört dich?
Du hast die Gleichung
[mm] $4x^3-16x=0$
[/mm]
Daraus lassen sich drei NST durch Ausklammern des x ableiten:
[mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_{2/3}=\pm [/mm] 2, da die Wurzel aus [mm] x^2 [/mm] sowohl ein positives wie negatives x zutage fördert.
Wo genau ist jetzt dein Problem bei der Berechnung? ;)
Falls dir das immer noch nicht klar ist:
Du willst die NST der Gleichung
[mm] $4x^3-16x=0$
[/mm]
bestimmen. Diese ist vom dritten Grad und hat maximal 3 mögliche NST.
Durch Ausklammern hast du
[mm] $4x*(x^2-4)=0$ [/mm] erhalten. Jetzt suchst du alle x-Werte, für die diese Gleichung erfült ist. Ein Produkt wird dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, denn egal was du mit 0 multiplizierst, es bleibt 0.
4x 0 werden zu lassen ist einfach, denn mit x=0 ist das wohl erfüllt. Daher ist [mm] x_1=0 [/mm] eine NST deiner Gleichung.
Für [mm] x^2=4 [/mm] sieht die Sache anders aus, hier soll x NICHT 0 werden bzw die GLeichung soll NICHT 0 werden, sondern 4. Vorher war es [mm] x^2-4=0, [/mm] aber durch Umformung haben wir jetzt [mm] x^2=4 [/mm] stehen, und jetzt suchen wir x-Werte, die quadriert 4 ergeben. Und da fallen uns nur -2 und +2 ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Domee |
Ja, aber ich suche doch die Extremstellen?
Wie rechne ich denn dann weiter?
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> Ja, aber ich suche doch die Extremstellen?
> Wie rechne ich denn dann weiter?
Öhm moment mal und alle Maschinen halt, was ist los? ^^ Weißt du überhaupt noch, was wir gerade machen? Also entweder hast du einen gewaltigen Hänger oder aber ein Verständnisproblem, beides versuchen wir mal langsam anzugehen, auch wenn es dir doof vorkommen mag.
Du hast die Funktion $f(x)= [mm] x^4-8x^2-9$ [/mm] als Ausgangsfunktion, korrekt?
Du möchtest von dieser Funktion die Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkte), korrekt?
Wie bestimmt man Extrema einer Funktion? Indem man nach NST der ersten Ableitung sucht und die infragekommenden Lösungen in die zweite Ableitung einsetzt, sog. hinreichende Bedingung, korrekt?
Demzufolge haben wir dir aufgezeigt, dass die erste Ableitung:
[mm] $f'(x)=4x^3-16x$ [/mm]
drei Lösungen, nämlich [mm] x_1=0, x_2=-2 [/mm] und [mm] x_3=2 [/mm] besitzt.
DAS SIND DEINE möglichen EXTREMA!
Jetzt musst du ihre Art bestimmen, indem du sie in die zweite Ableitung
$f''(x)= [mm] 12x^2-16 [/mm] $ einsetzt.
Ok? ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Domee |
Jaa ich stand auf dem Schlauch :D
Also zur NST
1. HP
2. HP
3. TP
wär das so richtig?
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> Jaa ich stand auf dem Schlauch :D
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> Also zur NST
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> 1. HP
> 2. HP
> 3. TP
>
> wär das so richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das kann ja nicht sein, das wäre ein komischer Verlauf, oder?
[mm] x_0=0 [/mm] liefert einen HP
[mm] x_1=2 [/mm] liefert einen TP
[mm] x_1=-2 [/mm] liefert ebenfalls einen TP, [mm] x^2 [/mm] macht ja alles gleich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Domee |
Okay, sry, hatte das x² vergessen =)
dann setze ich meine Werte nun nochmal in die Ausgangsfunktion ein, um den y Wert zu errechnen, korrekt?
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> Okay, sry, hatte das x² vergessen =)
>
> dann setze ich meine Werte nun nochmal in die
> Ausgangsfunktion ein, um den y Wert zu errechnen, korrekt?
je nach dem, was du machen möchtest ;) Wenn es dich nach der y-Koordinate deiner TPs und HPs gelüstet, so wandelst du auf den richtigen Pfaden...
War deine Quest aber, nur diejenigen Stellen zu finden, wo die erste Ableitung auf 0 zu ruhen gedenkt, so bist du bereits fertig, denn die Stelle unterscheidet sich geziemlich von einem Punkte durch die Unnötigkeit einer y-Koordinatenangabe...
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
