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| Aufgabe | f(x)=2+2cos(x) mit D von -Pi bis Pi
Es sei P(u/v) mit 0<u<Pi ein Punkt auf dem Graphen von f(x). Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch P und die Koordinatenachsen bilden ein Rechteck. Für welchen Wert von u wird der Umfang des Rechtecks extremal? Bestimmen Sie die Art des Extremums? |
Hi Leute!
Hab ihr einen Plan wie man das macht, ich habs mir aufgezeichnet und weiss auch dass ich die Fläche maximieren soll...
Hab F(x) gebildet =2-2sin(x) aber welche Grenze setz ich dort ein und wie bestimmt ich dann davon das Extrema?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Di 06.03.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Blaubeere,
> f(x)=2+2cos(x) mit D von -Pi bis Pi
>
> Es sei P(u/v) mit 0<u<Pi ein Punkt auf dem Graphen von
> f(x). Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch P und
> die Koordinatenachsen bilden ein Rechteck. Für welchen Wert
> von u wird der Umfang des Rechtecks extremal? Bestimmen Sie
> die Art des Extremums?
> Hi Leute!
> Hab ihr einen Plan wie man das macht, ich habs mir
> aufgezeichnet und weiss auch dass ich die Fläche maximieren
> soll...
Äh, in der Aufgabenstellung steht du sollst den Umfang des entstehenden Rechtecks maximieren. Nichts mit Fläche.
>
> Hab F(x) gebildet =2-2sin(x) aber welche Grenze setz ich
> dort ein und wie bestimmt ich dann davon das Extrema?
>
> Grüße Daniel
Also falls F die Stammfkt. von f sein soll, ist sie nicht richtig, aber zum Glück brauchen wir die auch nicht.
Du musst den Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit des Punktes (eigentlich nur in Abhängigkeit der x-Koordinate) auf f angeben. Der Punkt hat die Koordinaten (u|2+cos(u)). Welchen Umfang hat dann das entstehende (siehe Aufgabenstellung) Rechteck?
Der Umfang (nennen wir ihn mal K) ist dann eine Funktion von u, also
$K(u)$, die es auf Extrema zu untersuchen gilt.
Kommst du so weiter?
LG walde
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Hi walde
danke, hast das wirklich gut erklärt...Dachte nur gerade das dort wo der Umfang maximal ist wäre auch die Fläche maximal, deshalb bin ich einfach von der Fläche...und in der Stammfunktion fehlte das x...is klar^^!
Ich hab jetz für K(u)=2(u+2+2cos(u))
K'(u)=2(1-2sin(u))
u= arccos(0.5)
Ähm gibt es wirklich 2 Werte wo u maximal wird =>
bei Pi/6 und 5Pi/6 ?
Danke noochmal^^
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 06.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin daniel,
tja weit gefehlt:
wo der flächeninhalt maximal wird, muss der umfang keineswegs maximal sein.
Deine Zielfunktion ist also
U = 2*x + 2*f(x)
davon bildest du die erste ableitung, setzt diese null und bestimmst die lösungen.
nur an diesen stellen können überhaupt extremstellen vorliegen.
ohne tiefer in dei aufgabe einzusteigen, kann ich mir bei einer periodischen funktion wie sin, cos usw., sehr gut vorstellen, dass es mehrere lokale maxima gibt.
dazu müsstest du die gefundenen nullstellen der 1. abl. in die zweite abl. einsetzen.
poste doch mal deinen lösungsweg!
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Di 06.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du musst noch die zweite Ableitung bilden und prüfen ob sie größer oder kleiner 0 ist. Erst dann ist eine Aussage über ein Maximum oder Minimum möglich. Du wirst sehen, das ein Wert sich erübrigt und für das Maximum nur einer übrig bleibt.
mfg ullim
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Hi Leute, also mein Lösungweg
K(u)=2(a+b) wobei a=u und b=2+2cos(u)
K(u)=2(u+2+2cos(u))
K'(u)=2(1-2sin(u))
Das setzen wir K'(u)=0
0=1-2sin(u)
u= arcsin (0.5)
K''(u)=2(-2cos(u))
=-4cos(u)
K''(0.5) < 0 => also hochpunkt...
also muss an der stelle Pi/6 bzw 5Pi/6 der Umfang maximal werden...
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Di 06.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
K'' muss an der Stelle [mm] \br{\pi}{6} [/mm] und [mm] \br{5\pi}{6} [/mm] ausgerechnet werden. Nur bei [mm] \br{\pi}{6} [/mm] ist ein Maximum
mfg ullim
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HI ulli, ja klar^^
aber bei 5Pi/6 muss ist ein Minimum vorhanden und das heisst das dort der Umfang am geringsten sein müsste, und in der Aufgabe wird ja allgemein nach allem gefragt oder?^^
Naja danke für die Tips, ich hab aufjedenfall gut verstanden nu...
Grüße Ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 06.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Ich interpretiere die Aufgabenstellung wie Du: Du musst alle Werte für $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \pi$ [/mm] untersuchen.
Und da sind beide Extremalkandidaten mit [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{6}$ [/mm] sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{6}\pi$ [/mm] betrachten und die entsprechende Extremalart (Minimum oder Maximum) feststellen.
Vergiss nicht, die zugehörigen Umfangswerte zu ermitteln ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Di 06.03.2007 | | Autor: | Blaub33r3 |
Danke, keine Sorge habe ich gemacht ;)
Übrigens tut es gut, wenn man sich mal das skizziert in dem Graphen von [mm] f_{t}(x)=t+tcos(x) [/mm] mit t=2
Gute Nacht alle!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Di 06.03.2007 | | Autor: | Walde |
Gute Nacht,
aber schreib das doch bitte (nächstes mal) nicht als Frage (denn es ist ja keine), sondern als Mitteilung. ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
LG walde
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