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| Aufgabe | f (x,y) = [mm] e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)
[/mm]
a) Bestimme inf und sup.
b) lokale Extrema |
zu a) Wie kann ich hier inf und sup bestimmen?
Habe mir gedacht, die Funktion nach Variablen zu trennen und komme dann auf: [mm] e^{-x^2}*(x^2) +e^{y^2} *(-2y^2).
[/mm]
Ist das hier sinnvoll?
Wie kann ich weitermachen?
DANKESCHÖN!
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Und noch ein Hallo...
> f (x,y) = [mm]e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)[/mm]
> a) Bestimme inf und
> sup.
> b) lokale Extrema
> zu a) Wie kann ich hier inf und sup bestimmen?
> Habe mir gedacht, die Funktion nach Variablen zu trennen
> und komme dann auf: [mm]e^{-x^2}*(x^2) +e^{y^2} *(-2y^2).[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das verstehe ich nicht. Es entspricht auch nicht der gegebenen Funktion.
> Ist
> das hier sinnvoll?
> Wie kann ich weitermachen?
Fang lieber mit b) an, dann findest Du genug über die Funktion heraus, um nochmal über a) nachdenken zu können.
> DANKESCHÖN!
lg
rev
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> Und noch ein Hallo...
>
> > f (x,y) = [mm]e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)[/mm]
> > a) Bestimme inf
> und
> > sup.
> > b) lokale Extrema
> > zu a) Wie kann ich hier inf und sup bestimmen?
> > Habe mir gedacht, die Funktion nach Variablen zu
> trennen
> > und komme dann auf: [mm]e^{-x^2}*(x^2) +e^{y^2} *(-2y^2).[/mm]
>
> Das verstehe ich nicht. Es entspricht auch nicht
> der gegebenen Funktion.
>
> > Ist
> > das hier sinnvoll?
> > Wie kann ich weitermachen?
>
> Fang lieber mit b) an, dann findest Du genug über die
> Funktion heraus, um nochmal über a) nachdenken zu
> können.
>
Kann ich das machen, dass ich die b) vorziehe und evtl. für a) folgere? Auch in Klausuren?
Nun, dann will ich mal mit b) beginnen:
f (x,y) = [mm]e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)[/mm]
1.Abl. nach x: [mm] -2xe^{-(x^2+y^2)} (x^2-2y^2-1)
[/mm]
1.Abl. nach y: [mm] -2ye^{-(x^2+y^2)} [/mm] ( [mm] x^2-2y^2+2)
[/mm]
grad f(x,y) = (0,0) genau dann, wenn [mm] -2xe^{-(x^2+y^2)} (x^2-2y^2-1)=0 [/mm] und [mm] -2ye^{-(x^2+y^2)} [/mm] ( [mm] x^2-2y^2+2)=0
[/mm]
Reicht es hier, wenn ich nur die beiden hinteren Klammer: ( [mm] x^2-2y^2+2) [/mm] und [mm] (x^2-2y^2-1) [/mm] betrachte und prüfe, wann diese =0 sind?
> > DANKESCHÖN!
>
> lg
> rev
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> > Und noch ein Hallo...
Und noch eins...
> >
> > > f (x,y) = [mm]e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)[/mm]
> > > a) Bestimme
> inf
> > und
> > > sup.
> > > b) lokale Extrema
> > > zu a) Wie kann ich hier inf und sup bestimmen?
> > > Habe mir gedacht, die Funktion nach Variablen zu
> > trennen
> > > und komme dann auf: [mm]e^{-x^2}*(x^2) +e^{y^2} *(-2y^2).[/mm]
>
> >
> > Das verstehe ich nicht. Es entspricht auch nicht
> > der gegebenen Funktion.
> >
> > > Ist
> > > das hier sinnvoll?
> > > Wie kann ich weitermachen?
> >
> > Fang lieber mit b) an, dann findest Du genug über die
> > Funktion heraus, um nochmal über a) nachdenken zu
> > können.
> >
> Kann ich das machen, dass ich die b) vorziehe und evtl.
> für a) folgere? Auch in Klausuren?
Ja. Du kannst doch nicht ohne Einfall erstmal 30 Minuten vor a) herumsitzen. Ob logisch auch von b) etwas auf a) zu schließen sein wird, kannst Du vorher nicht wissen. Immerhin lernst Du aber die Funktion schonmal besser kennen.
> Nun, dann will ich mal mit b) beginnen:
> f (x,y) = [mm]e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)[/mm]
> 1.Abl. nach x:
> [mm]-2xe^{-(x^2+y^2)} (x^2-2y^2-1)[/mm]
> 1.Abl. nach y:
> [mm]-2ye^{-(x^2+y^2)}[/mm] ( [mm]x^2-2y^2+2)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> grad f(x,y) = (0,0) genau dann, wenn [mm]-2xe^{-(x^2+y^2)} (x^2-2y^2-1)=0[/mm]
> und [mm]-2ye^{-(x^2+y^2)}[/mm] ( [mm]x^2-2y^2+2)=0[/mm]
> Reicht es hier, wenn ich nur die beiden hinteren Klammer:
> ( [mm]x^2-2y^2+2)[/mm] und [mm](x^2-2y^2-1)[/mm] betrachte und prüfe, wann
> diese =0 sind?
Wenn beide zugleich Null sein sollen, müsste folgendes gelten:
[mm] 0=x^2-2y^2+2=x^2-2y^2-1 \Rightarrow [/mm] 2=-1
Das ist wohl nicht möglich. Die [mm] e^{dingens}-Terme [/mm] werden auch nie Null.
Da müssen es wohl -2x und -2y werden.
lg
rev
> > > DANKESCHÖN!
> >
> > lg
> > rev
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> > > Und noch ein Hallo...
> Und noch eins...
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> > >
> > > > f (x,y) = [mm]e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)[/mm]
> > > > a)
> Bestimme
> > inf
> > > und
> > > > sup.
> > > > b) lokale Extrema
> > > > zu a) Wie kann ich hier inf und sup bestimmen?
> > > > Habe mir gedacht, die Funktion nach Variablen zu
> > > trennen
> > > > und komme dann auf: [mm]e^{-x^2}*(x^2) +e^{y^2} *(-2y^2).[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das verstehe ich nicht. Es entspricht auch nicht
> > > der gegebenen Funktion.
> > >
> > > > Ist
> > > > das hier sinnvoll?
> > > > Wie kann ich weitermachen?
> > >
> > > Fang lieber mit b) an, dann findest Du genug über die
> > > Funktion heraus, um nochmal über a) nachdenken zu
> > > können.
> > >
> > Kann ich das machen, dass ich die b) vorziehe und evtl.
> > für a) folgere? Auch in Klausuren?
>
> Ja. Du kannst doch nicht ohne Einfall erstmal 30 Minuten
> vor a) herumsitzen. Ob logisch auch von b) etwas auf a) zu
> schließen sein wird, kannst Du vorher nicht wissen.
> Immerhin lernst Du aber die Funktion schonmal besser
> kennen.
>
> > Nun, dann will ich mal mit b) beginnen:
> > f (x,y) = [mm]e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)[/mm]
> > 1.Abl. nach x:
> > [mm]-2xe^{-(x^2+y^2)} (x^2-2y^2-1)[/mm]
> > 1.Abl. nach y:
> > [mm]-2ye^{-(x^2+y^2)}[/mm] ( [mm]x^2-2y^2+2)[/mm]
>
>
> > grad f(x,y) = (0,0) genau dann, wenn [mm]-2xe^{-(x^2+y^2)} (x^2-2y^2-1)=0[/mm]
> > und [mm]-2ye^{-(x^2+y^2)}[/mm] ( [mm]x^2-2y^2+2)=0[/mm]
>
>
> > Reicht es hier, wenn ich nur die beiden hinteren Klammer:
> > ( [mm]x^2-2y^2+2)[/mm] und [mm](x^2-2y^2-1)[/mm] betrachte und prüfe, wann
> > diese =0 sind?
>
> Wenn beide zugleich Null sein sollen, müsste folgendes
> gelten:
>
> [mm]0=x^2-2y^2+2=x^2-2y^2-1 \Rightarrow[/mm] 2=-1
>
> Das ist wohl nicht möglich. Die [mm]e^{dingens}-Terme[/mm] werden
> auch nie Null.
>
> Da müssen es wohl -2x und -2y werden.
>
Danke für den Tipp. Jetzt habe ich also x=y=0.
Allerdings soll diese Funktion (nach Lösung) 3 kritische Punkte haben.
Wie komme ich dann auf die anderen beiden, wenn ich die Klammer nicht betrachten soll bzw. darf? e wird ja nie null
> lg
> rev
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> > > > DANKESCHÖN!
> > >
> > > lg
> > > rev
> > >
> >
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Hallo,
traurig, immer noch kein Hallo von dir ...
Noch ein Tipp: zitiere mit mehr Bedacht, lösche das, was du nicht brauchst, sonst ist es so unübersichtlich wie hier.
Ich zitiere absichtlich genauso wie du.
Viel Spaß beim Suchen meiner Bem.
> > > > Und noch ein Hallo...
> > Und noch eins...
> >
> > > >
> > > > > f (x,y) = [mm]e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)[/mm]
> > > > >
> a)
> > Bestimme
> > > inf
> > > > und
> > > > > sup.
> > > > > b) lokale Extrema
> > > > > zu a) Wie kann ich hier inf und sup
> bestimmen?
> > > > > Habe mir gedacht, die Funktion nach Variablen
> zu
> > > > trennen
> > > > > und komme dann auf: [mm]e^{-x^2}*(x^2) +e^{y^2} *(-2y^2).[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Das verstehe ich nicht. Es entspricht auch nicht
> > > > der gegebenen Funktion.
> > > >
> > > > > Ist
> > > > > das hier sinnvoll?
> > > > > Wie kann ich weitermachen?
> > > >
> > > > Fang lieber mit b) an, dann findest Du genug über die
> > > > Funktion heraus, um nochmal über a) nachdenken zu
> > > > können.
> > > >
> > > Kann ich das machen, dass ich die b) vorziehe und evtl.
> > > für a) folgere? Auch in Klausuren?
> >
> > Ja. Du kannst doch nicht ohne Einfall erstmal 30 Minuten
> > vor a) herumsitzen. Ob logisch auch von b) etwas auf a) zu
> > schließen sein wird, kannst Du vorher nicht wissen.
> > Immerhin lernst Du aber die Funktion schonmal besser
> > kennen.
> >
> > > Nun, dann will ich mal mit b) beginnen:
> > > f (x,y) = [mm]e^{-(x^2+y^2)} *(x^2-2y^2)[/mm]
> > > 1.Abl. nach
> x:
> > > [mm]-2xe^{-(x^2+y^2)} (x^2-2y^2-1)[/mm]
> > > 1.Abl. nach y:
> > > [mm]-2ye^{-(x^2+y^2)}[/mm] ( [mm]x^2-2y^2+2)[/mm]
> >
> >
> > > grad f(x,y) = (0,0) genau dann, wenn [mm]-2xe^{-(x^2+y^2)} (x^2-2y^2-1)=0[/mm]
> > > und [mm]-2ye^{-(x^2+y^2)}[/mm] ( [mm]x^2-2y^2+2)=0[/mm]
> >
> >
> > > Reicht es hier, wenn ich nur die beiden hinteren Klammer:
> > > ( [mm]x^2-2y^2+2)[/mm] und [mm](x^2-2y^2-1)[/mm] betrachte und prüfe, wann
> > > diese =0 sind?
> >
> > Wenn beide zugleich Null sein sollen, müsste folgendes
> > gelten:
> >
> > [mm]0=x^2-2y^2+2=x^2-2y^2-1 \Rightarrow[/mm] 2=-1
> >
> > Das ist wohl nicht möglich. Die [mm]e^{dingens}-Terme[/mm] werden
> > auch nie Null.
> >
> > Da müssen es wohl -2x und -2y werden.
> >
> Danke für den Tipp. Jetzt habe ich also x=y=0.
> Allerdings soll diese Funktion (nach Lösung) 3 kritische
> Punkte haben.
> Wie komme ich dann auf die anderen beiden, wenn ich die
> Klammer nicht betrachten soll bzw. darf? e wird ja nie
> null
1) [mm] $-2xe^{-(x^2+y^2)}\cdot{}(x^2-2y^2-1)=0$
[/mm]
2) [mm] $-2ye^{-(x^2+y^2)}\cdot{}(x^2-2y^2+2)=0$
[/mm]
1) wird etwa =0, wenn $x=0$ ist. Damit in 2)
[mm] $\Rightarrow -2ye^{-y^2}\cdot{}(-2y^2+2)=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y=0\vee -2y^2+2=0$
[/mm]
Also [mm] $y=0\vee y=\pm [/mm] 1$
Damit hast du 3 stat. Punkte:
$(0,0), (0,1), (0,-1)$
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
Anmerkung:
darüber hinaus sehen mir die Punkte $(1,0)$ und $(-1,0)$ auch kritisch aus ...
Gruß
schachuzipus
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