Extremwert < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Ein Unternehmen hat zwei unabhängige Verkaufsfilialen, deren Gewinne [mm] G_1(x) [/mm] bzw. [mm] G_2(y) [/mm] von den eingesetzten Kapitalmengen und in folgender Weise abhängen
[mm] G_1(x) = ln(1+x) [/mm]
[mm] G_2(y) = \bruch{y}{1+y}[/mm]
Bestimmen Sie den maximalen Gewinn [mm] G_1(x) [/mm] + [mm] G_2(y) [/mm] unter der Bedingung, dass insgesamt 10 Geldeinheiten zur Verfügung stehen. |
Hallo,
wie geht man an eine solche Aufgabe ran ?
Mich stören vor allem die 10 Geldeinheiten, sonst würde ich versuchen von beiden Funktionen (zusammen) den Extremwert zu suchen.
Danke
Grüße
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mo 13.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Lars.
Ich würde zuerst mal die Gewinnfunktion aufstellen, also:
[mm] G(x,y)=\underbrace{ln(1+x)}_{G_{1}(x)}+\underbrace{\bruch{y}{1+y}}_{G_{2}(y)}
[/mm]
Jetzt hast du die Nebenbedingung, dass x+y=10 sin muss, also y=10-x
Somit ergibt sich eine Gewinnfunktion [mm] G(x)=ln(1+x)+\bruch{10-x}{11-x}, [/mm] von der nun das Maximum zu bestimmen ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo Marius,
dann muss ich also die erste und zweite Ableitung bilden. Nullstellen der ersten bestimmen und in die zweite einsetzen, wenn kleiner Null dann ist das die Maximalstelle.
Wahrscheinlich haberst dann nun mit den Ableitungen, da bin ich leider etwas unsicher.
a = ln(1+x); a' = [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] (Kettenregel)
[mm] b=\bruch{10-x}{11-x}; [/mm] b' = [mm] \bruch{1}{(11-x)^2} [/mm] (Quotientenregel)
[mm] G'(x) = \bruch{x}{1+x} + \bruch{1}{(11-x)^2} [/mm]
[mm]=\bruch{x^3-22x^2+122x+1}{(1+x)*(11-x)^2} [/mm]
Bevor ich da jetzt blind weiterrechne und Nullstellen bestimme, wäre es nett, wenn jmd das mal nachprüft.
Danke
Grüße
Lars
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> Hallo Marius,
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> dann muss ich also die erste und zweite Ableitung bilden.
> Nullstellen der ersten bestimmen und in die zweite
> einsetzen, wenn kleiner Null dann ist das die
> Maximalstelle.
>
> Wahrscheinlich haberst dann nun mit den Ableitungen, da bin
> ich leider etwas unsicher.
>
> a = ln(1+x); a' = [mm]\bruch{x}{1+x}[/mm] (Kettenregel)
Hallo,
Kettenregel ist gut - aber wie lautet denn die innere Ableitung der Funktion?
> [mm]b=\bruch{10-x}{11-x};[/mm] b' = [mm]\bruch{1}{(11-x)^2}[/mm]
> (Quotientenregel)
Quotientenregel ist richtig, aber Du hast Dich bei den Vorzeichen verhaspelt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Guten Abend :),
und danke für eure Hilfe.
[mm]G'(x) = (1+x)^{-1} - (11 -x)^{-2}[/mm]
[mm]G''(x)= (-1-x)^{-2} - 2(11-x)^{-3}[/mm]
so richtig?
Danke
Grüße
Lars
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> Guten Abend :),
>
> und danke für eure Hilfe.
>
> [mm]G'(x) = (1+x)^{-1} - (11 -x)^{-2}[/mm]
Hallo,
das hier stimmt jetzt.
> [mm]G''(x)= (-1-x)^{-2} - 2(11-x)^{-3}[/mm]
Das stimmt fast.
Es muß heißen G''(x)= [mm] -(1+x)^{-2} [/mm] - [mm] 2(11-x)^{-3}.
[/mm]
Es ist [mm] -(1+x)^{-2}\not= (-1-x)^{-2}, [/mm]
denn es ist ja [mm] (-1-x)^{-2}=((-1)*(1+x))^{-2}=(-1)^{-2}*(1+x)^{-2}=1*(1+x)^{-2}=(1+x)^{-2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo,
Nullstellen von G'(x) -> [mm] x_1 [/mm] = 15; [mm] x_2 [/mm] = 8
G''(15) = 0,0273 > 0 Minimum
G''(8) = -0,086 < 0 Maximum
Also ist der maximale Gewinn bei [mm]G(8,2) = ln ( 1+8) + \bruch{2}{3} \approx 2.8639 [/mm]
Richtig ?
Danke
Grüße
Lars
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> Hallo,
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> Nullstellen von G'(x) -> [mm]x_1[/mm] = 15; [mm]x_2[/mm] = 8
> G''(15) = 0,0273 > 0 Minimum
> G''(8) = -0,086 < 0 Maximum
>
> Also ist der maximale Gewinn bei [mm]G(8,2) = ln ( 1+8) + \bruch{2}{3} \approx 2.8639[/mm]
>
> Richtig ?
Ja, so ist's richtig.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
Hier mal ein Tipp, um sich bei der 2. Teilfunktion die Ableitung etwas zu vereinfachen:
$b(x) \ = \ [mm] \bruch{10-x}{11-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x-10}{x-11} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x-11+1}{x-11} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x-11}{x-11}+\bruch{1}{x-11} [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{1}{x-11} [/mm] \ = \ [mm] 1+(x-11)^{-1}$
[/mm]
Also ergibt hier $b'(x)_$ ?
Gruß
Loddar
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> Hallo Lars.
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> Ich würde zuerst mal die Gewinnfunktion aufstellen, also:
>
> [mm]G(x,y)=\underbrace{ln(1+x)}_{G_{1}(x)}+\underbrace{\bruch{y}{1+y}}_{G_{2}(y)}[/mm]
>
> Jetzt hast du die Nebenbedingung, dass x+y=10 sin muss,
> also y=10-x
>
> Somit ergibt sich eine Gewinnfunktion
> [mm]G(x)=ln(1+x)+\bruch{10-x}{11-x},[/mm] von der nun das Maximum zu
> bestimmen ist.
>
> Marius
>
Hallo Marius,
Dein Vorgehen klappt bei den gegebenen Funktionen zwar einwandfrei, aber vor
> Jetzt hast du die Nebenbedingung, dass x+y=10 sin muss,
> also y=10-x
müßte man noch ein paar kleine Überlegungen anstellen, um sicher zu sein, daß man nicht in böse Fallen tappt:
In der Aufgabe steht, daß 10 Geldeinheiten zur Verfügung stehen, also heißt die Nebenbedingung eigentlich [mm] x+y\le [/mm] 10.
Bei Deiner Rechnung untersuchst Du lediglich den Rand, x+y=10.
Weil [mm] G_{1}(x)=ln(1+x) [/mm] und [mm] G_{2}(y)=\bruch{y}{1+y} [/mm] beide monoton wachsend sind, klappt das auch, es ist klar, daß bei vollem Kapitaleinsatz der meiste Gewinn herauszuholen sein wird.
Aber das ist nicht selbstverständlich!
Nehmen wir zwei andere Gewinnfunktionen (ob sie realistisch sind, sei dahingestellt...),
z.B. [mm] G_1(x)= -(x-4)^2+16
[/mm]
und [mm] G_2(y)= -\bruch{1}{4}(y-4)+4
[/mm]
mit der Nebenbedingung [mm] x+y\le [/mm] 10
Man sieht sofort (oder rechnet es nach), daß [mm] G(x,y)=G_1(x)+G_2(y) [/mm] maximal wird für (x,y)=(4,4), wenn also lediglich 8 Geldeinheiten eingesetzt werden. Max. Gewinn=20.
Untersuchst Du das ganze nun lediglich wie oben auf dem Rand, erhältst Du [mm] x_{max}=4.4, [/mm]
und hiermit (mit [mm] y_{max}=5.6) [/mm] nur einen max. Gewinn v. 19,2.
Gruß v. Angela
P.S.: Diese Mitteilung soll Dich, Lars, keinesfalls verwirren. Wenn Ihr bisher erst eindimensionale Analysis betrieben habt, kein Gradient vorkam, braucht es Dich nicht weiter zu kümmern.
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