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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Sa 17.05.2008 | | Autor: | SamGreen |
| Aufgabe | Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Geg. f(x) = Wurzel(x)
P (0/8)
Zu welchem Punkt auf der Fkt. f hat der Punkt P den kürzesten Abstand?
Würde es mit einer Extremwert rechnen.
d² = (8 - f(x))² + x²
und d dann diff.
aber irgendwas funzt. |
Würde es mit einer Extremwert rechnen.
d² = (8 - f(x))² + x²
und d dann diff.
aber irgendwas funzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Sam,
wenn der vorgegebene Punkt stimmt (und nicht etwa P(8;0) gemeint ist!),
kannst Du die Aufgabe vermutlich nur näherungsweise lösen! (Newton-Verfahren?)
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Sa 17.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das geht auch, wenn der Punkt P(0/8) ist.
Der Punkt mit dem kürzesten Abstand ist der Punkt [mm] A(x_{a}/\wurzel{x_{a}} [/mm] auf der Funktion f, dessen Normale (also die Gerade, die senkrecht zu auf dem Punkt steht) durcht P(0/8 geht.
Diese Normale ist eine Gerade der Form n(x)=mx+b, und soll durch P gehen, also n(0)=8 [mm] \Rightarrow [/mm] b=8
Also:
n(x)=mx+8
Die Steigung soll jetzt senkrecht zur Steigung der Funktion f in A sein.
Also berechne erstmal die Steigung [mm] f'(x_{a})=\bruch{1}{2\wurzel{x_{a}}}
[/mm]
Für zwei senkrecht Geraden gilt: [mm] m_{1}*m_{2}=-1 [/mm] also hier für die Steigung m der Normalen:
[mm] m*\bruch{1}{2\wurzel{x_{a}}}=-1
[/mm]
[mm] \gdw m=-2\wurzel{x_{a}}
[/mm]
Also:
[mm] n(x)=-2\wurzel{x_{a}}*x+8
[/mm]
Und jetzt suchst du den Schnittpunkt A von n und f
Also:
[mm] -2\wurzel{x_{a}}*x_{a}+8=\wurzel{x_{a}}
[/mm]
Jetzt kannst du daraus das [mm] x_{a} [/mm] bestimmen, und damit auch den gesuchten Punkt A.
Marius
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Interessanter Ansatz, wobei ich mich frage, ob das "Normalen-Abstands-Verfahren", wenn ich es mal so nenn darf  , für jede beliebige Funktion anwendbar ist... Eigentlich ginge das ja nur so für streng monotone Funktionen, wie die Wurzelfunktion, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Sa 17.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Interessanter Ansatz, wobei ich mich frage, ob das
> "Normalen-Abstands-Verfahren", wenn ich es mal so nenn darf
> , für jede beliebige Funktion anwendbar ist...
> Eigentlich ginge das ja nur so für streng monotone
> Funktionen, wie die Wurzelfunktion, oder nicht?
Hallo.
Ich denke, das geht tatsächlich nur bei streng monotonen Funktionen, oder auch bei konvexen Funktionen. (z.B.: Parabeln)
Marius
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Hi,
also ich würde folgendermaßen ansetzen:
[mm]f(x)=\sqrt x[/mm]
[mm]P(0|8)[/mm]
[mm]Q(x|\sqrt x)[/mm]
dann ist die Abstandsfunktion:
[mm]d(x)=\sqrt{x^2+(sqrt{x}-8)^2}[/mm]
[mm]\Rightarrow d'(x)=\bruch{2x+2(\sqrt{x}-8)\* \bruch{1}{2 \sqrt{x}}}{2\sqrt{x^2+(\sqrt{x}-8)^2}}}[/mm]
Lösen der Gleichung [mm]2x-\bruch{8}{\sqrt{x}}=-1[/mm] liefert den x-Wert [mm]\approx 2{,}19 \Rightarrow Q(2{,}19|1{,}48)[/mm].
In der Tat ist dieser Weg zwar einfach, aber die Gleichung lässt sich - soweit ich math. Schulverfahren kenne - nicht genau bestimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Sa 17.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
So geht es natürlich auch.
Dazu noch ein Tipp: Willst du den Abstand d(x) minimieren, so reicht es, wenn du den Abstand quadrierst, und davon das Minimum suchst, das ändert seinen x-Wert beim Quadrieren nämlich nicht.
Also hier:
[mm] d²(x)=x²+(\wurzel{x}-8)²
[/mm]
Marius
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Hi,
ein guter Hinweis, danke. Immerhin kann einem das beim Ableiten schon Arbeit ersparen, wobei ich doch erst etwas darüber nachdenken musste, warum das stimmt. Aber sehr hilfreich!
Nils
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