Extremwert Dreieck Rechteck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Freunde.
Folgendes Problem:
Die Katheten eines rechtwinkl. Dreiecks sind 60 und 80 lang. An diese Katheten soll ein Rechteck angelegt werden, dessen Fläche maximiert werden soll.
Ich habe also: Fläche Rechteck: A=a*b
Aber womit fange ich beim Dreieck an, dass ist für mich immer das Schwierigste. Nehme ich den Umfang oder die Fläche oder trickse ich sonstwie herum? Gebt mir bitte eine kleine Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 17.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zeichne doch mal ein Rechteck genau so wie gefordert in ein rechtwinkliges Dreieck ein, und zwar so, dass a auf de 80 cm Kathete liegt und b auf der 60 cm Kathete. Dann siehst du hoffentlich relativ schnell, dass man hier den Strahlensatz anwenden kann, um die Nebenbedingung aufzustellen.
Dann gilt nämlich:
[mm] \bruch{80}{80-a} [/mm] = [mm] \bruch{60}{b} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{60(80-a)}{80} [/mm] = b
Jetzt hast du für den Flächeinhalt des Rechtecks:
A = [mm] a*\bruch{60(80-a)}{80}, [/mm] wovon du jetzt den Extremwert bestimmen sollst.
Marius
|
|
|
| |
|
Als Ableitung erhalte ich
A´= 60 - 2*0,75a
Damit ist a=40 und b= 30
Ist das richtig?
Aber wie bist du auf die Sache mit dem Strahlensatz gekommen? Gib mir da mal nen klitzekleinen Tipp! Danke 
|
|
|
| |
|
Aloa,
Ich habe dir mal eine Zeichnung gemacht, vll. isses so einsichtiger:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst das Rechtwinklige Dreieck mit den Seitenlängen 80 und 60 LE (Längeneinheiten). Durch das Einzeichnen des Rechtecks (Seiten in dunkelrot und hellgrün) erscheinen in deinem Ausgangsdreieck zwei weitere Dreiecke, deren Größe und Seitenlänge abhängig von dem von dir gewählten Rechteck sind.
Das obere kleine Dreieck ist offensichtlich (Winkelgleichheit) 'ähnlich' zu dem großen Ausgangsdreieck. Somit kannst du die Strahlensätze anwenden:
Die orangene Seite (eil Teilstück deiner 80er-Seite) verhält sich zu der roten Seite deines Rechtecks wie die gesamte 80er-Seite zu der 60er-Seite. Umstellen dieser Erkennis liefert, dass das Verhältnis des organen Stücks zur 80er-Seite gleich dem Verhältnis des roten Stücks zur 60er-Seite sein muss (man spricht von der Längenverhältnistreue in ähnlichen Dreiecken).
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass dich das weiterbringt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Vielen Dank, das hat mir geholfen. Wenn ich es also richtig verstanden habe, muss man in der NB nur versuchen, eine Variable in der HB zu eliminieren, egal wie!
|
|
|
|
