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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Fr 21.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
Hallo erstmal,
ich hätte eine Frage bezüglich der extremwert Problematik. Mir ist klar, dass wenn ich beispielsweise die Extremwerte einer beliebigen Funktion errechnen möchte, ich diese zuerst Ableite und gleich null setze, da an diesen Stellen die Steigung der originalfunktion ja auch gleich null ist. Jedoch verstehe ich nicht warum man diese Werte nun in die zweite Ableitung der Funktion einsetzt, in meinem Mathebuch steht, dass falls die zweite Ableitung am Punkt xo < 0 sein sollte, dass dies einen Vorzeichenwechsel in der originalfunktion von + nach - gleichkommt, jedoch wieso denn, die zweite Ableitung gibt doch nur die Steigung der ersten Ableitung wieder ???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nun, es ist so:
Die zweite Ableitung gibt die Steigung der Steigung an....anders kann man es dann interpretieren als die Krümmung deiner Kurve. Ist die zweite Ableitung kleiner Null, so ist deine Kurve rechtsgekrümmt, ist sie größer Null ist sie rechtsgekrümmt.
Nun, wenn die erste Ableitung gleich Null ist, dann heißt es ja, dass die Kurve dort gerade eine waagerechte Tangente hat. Die Bedingung, dass f'(x)=0 ist nur notwendig für eine Extremstelle, aber nicht hinreichend. D.h. es kann ja auch sein, dass du einen Sattelpunkt an der Stelle [mm] x_0 [/mm] hast, wenn [mm] f'(x_0)=0 [/mm] gilt. Ist dir das soweit klar? Wenn nein, guck dir mal [mm] f(x)=x^3 [/mm] an der Stelle x=0 an.
Okay, damit aber ein Hochpunkt vorliegt, muss deine Kurve an der Stelle, wo f'(x)=0 gilt, rechtsgekrümmt sein. Für den Hochpunkt muss deine Kurve ja sozusagen eine "Rechtskurve" bilden ,was mit f''(x)<0 übereinstimmt.
Für einen Tiefpunkt muss deine Kurve linksgekrümmt sein, also wenn du auf der Kurve Rad fährst, musst du deinen Lenker nach links einschlagen, damit du bei einer waagerechten Tangente einen Tiefpunkt vorliegen hast (man fährt übrigens immer von [mm] -\infty [/mm] nach [mm] +\infty, [/mm] oder von links nach rechts auf der x-Achse).
Ist es dir nun klarer, warum die Zweite Ableitung entsprechend mal >0 oder <0 sein muss, damit du auch tatsächlich einen Tief oder Hochpunkt vorliegen hast?!
Wenn nein, dann frag nochmal genauer, was du an welcher Stelle nicht verstehst.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Sa 22.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
erstmal danke für die rasche Antwort. Doch hätte ich eigentlich noch die Frage warum sich eine kurve den gerade links oder rechts krümmt wenn die zweite Ableitung größer oder kleiner null ist gibt es da irgendwie einen verständlichen zusammenhang weil eigentlich doch die zweite Ableitung mit der ursprünglichen Funktion doch nichts mehr zu tun hat und nur, wie gesagt die Steigung der ersten Ableitung angiebt...?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wir machen das jetzt mal "halbkonkret":
Wir stellen uns vor, daß wir eine Funktion f haben, deren Ableitung an der Stelle 5=0 ist, also f'(5)=0 und deren zweite Ableitung an der Stelle 5 kleiner als 0 ist, meinetwegen f''(5)=-7.
Was sagt uns das?
Die zweite Ableitung, also die Steigung der ersten Ableitung, ist kleiner als Null.
Also ist f' im Punkt 5 fallend. Da f'(5)=0, ist also f' links von der 5 positiv, rechts v. der 5 negativ.
Hieraus können wir Informationen über die Funktion f erhalten:
sie fällt rechts von der 5, sie steigt links von der 5.
Also hat sie bei 5 ein Maximum.
Leider bin ich zu dumm, um hier Bilder einzustellen.
Ich rate Dir, Dir das, was ich gesagt habe, ausgehend v. der zweiten Ableitung aufzuzeichnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 22.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
wieder danke für die schnelle antwort aber diesen Abschnitt verstehe ich nicht ganz
"Hieraus können wir Informationen über die Funktion f erhalten:
sie fällt rechts von der 5, sie steigt links von der 5. "
weshalb können wir den dadurch das wir wissen ob die erste Ableitung am Punkt der Nullstelle der ursprünglichen Funktion, fällt oder Steigt rückschlüsse auf die originalfunktion ziehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 22.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast zu flüchtig gelesen! immer 10 Minute über unseren klugen posts brüten ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Also ist f' im Punkt 5 fallend. Da f'(5)=0, ist also f' links von der 5 positiv, rechts v. der 5 negativ.
schrieb Angela!
also links von 5 ist f'>0, DAS HEISST f selbst steigt!
rechts von 5 ist f'<0 DAS HEISST f selbst fällt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Sa 22.12.2007 | | Autor: | noobo2 |
Hi also ich wollte jetzt mal üerprüfen ob ich das verstanden habe indem ich es mir selbst aufgeschrieben habe, um Korrektur wäre ich dakbar.
Wir suchen die Stelle der Funktion f(x) an der diese keine Steigung besitzt, also setzen wir die erste Ableitung gleich null.
Zur Aussage welche Art von Extrempunkt die erhalten(en) Nullstelle(en) (ist/sind) müssen wir die Nullstelle auf ihr Umfeld Untersuchen. Wir setzen sie also in die zweite Ableitung ein und wissen danach ob der Graph der ersten Ableitung an dieser Stelle fällt oder steigt. Falls er beispielsweise steigt bedeutet dies, dass er links von der Nullstelle negativ ist-> also auch auf f(x) übertragen eine negative Steigung hat die Nullstelle ist also in diesem Fall ein lokales Minimum.
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Hallo,
vermutlich hast Du das Problem verstanden.
Kennzeichnend für ein lokales Extremum einer Funktion [mm] f(x)[/mm] ist eine Nullstelle der ersten Ableitung [mm] f'(x)[/mm] mit Vorzeichenwechsel.
Beispiel Minimum: Links davon fällt die Funktion, die Ableitung ist dort negativ, rechts davon steigt die Funktion, die Ableitung ist dort positiv.
Wenn die zweite Ableitung [mm] f''(x)[/mm] an dieser Stelle positiv ist, muss die erste Ableitung monoton wachsen, also das Vorzeichen wechseln, und zwar von negativ zu positiv. Also liegt ein lokales Minimum vor.
Wenn die zweite Ableitung negativ ist muss die erste Ableitung monoton fallen und, weil sie eine Nullstelle hat, das Vorzeichen wechseln. Links von der Nullstelle ist sie dann positiv, rechts davon negativ, deshalb liegt dort ein lokales Maximum vor (am schnellsten sieht man das mit einer Skizze).
Bitte beachte, dass die zweite Ableitung auch mal Null sein kann. Dann ist die Monotonie der ersten Ableitung nicht offensichtlich und man kann nicht auf einen Vorzeichenwechsel schließen. Möglicherweise liegt dann ein Wendepunkt vor, an dem die Tangente horizontal verläuft ("Sattelpunkt").
Gruß haeb0001.
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