Extremwert: Rechteck/Parabel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 22.09.2008 | | Autor: | markus07 |
| Aufgabe | | Die Zeichnung zeigt einen Teil der Parabel, die Graph der Funktion f(x)= [mm] 4-x^2 [/mm] ist. Ein Rechteck wird in diese Parabel so wie in der Zeichung eingepasst: Achsenparallel, eine Ecke im Koordinatenursprung, die gegenüberliegende Ecke auf der Parabel (Punkt Q). Welches Rechteck hat den größten Umfang? (Bestimmen Sie zunächst die Koordinaten des Punktes Q) |
Folgendes dazu: f(x)= [mm] 4-x^2 [/mm] ist die Stammfunktion, richtig?
Mir ist es ehrlich gesagt schleierhaft was ich dazu machen muss. Habe auf verschiedensten Internetseiten geguckt und herausbekommen, dass zu dieser Aufgabe Wissen der Integralrechnung von Nöten ist. Diese haben wir aber definitiv noch nicht durchgenommen. Kann bis auf den ersten Satz keinen eigenen Ansatz zu einem Lösungsweg vorweisen, von daher würde ich es verstehen wenn ich jetzt keine Antworten bekommen würde. PS: Ansätze würde mir schon reichen, rechnen würde ich sowieso dann lieber selber.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Mo 22.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Welche Koordinaten hat denn dein Punkt Q? nenn seine x-Koordinate z. Bsp q, wie gross ist dann die y Koordinate?
Jetzt rechne daraus den Flaecheninhalt A(z) aus.
Dann solltest du fesstellen wo die Funktion A(z) ihr Maximum hat.
das hat weder mit Stammfunktion noch mit Integralrechnung was zu tun! Allerdings mit Differenzieren bzw. Ableitung.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Ines70 |
Die Antwort, die gegeben wurde ist nur zum Teil richtig. Es war nach dem Rechteck mit dem größten Umfang gefragt!
Der Punkt Q hat die Koordinaten (q/4-q²), so dass die Rechteckseiten q LE und (4-q²) LE lang sind. Den Umfang des Rechtecks muss man berechnen U=2*q+2*(4-q²). Dies ist deine Zielfunktion, von dieser musst du mit 1. und 2. Ableitung nach q, das Maximum bestimmen!
Viel Erfolg
Ines
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 22.09.2008 | | Autor: | markus07 |
ok...
U= [mm] 2(q+2)+2(4-q^2)
[/mm]
erginbt: U= [mm] 2q+12-2q^2
[/mm]
U´= -4q+2
...daraus:
Extremstelle also U=0
-4q+2= 0
-4q= -2
q= 0.25
... hab ich soweit richtig gerechnet?
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Hi,
> ok...
>
> U= [mm]2(q+2)+2(4-q^2)[/mm]
> erginbt: U= [mm]2q+12-2q^2[/mm]
> U´= -4q+2
>
> ...daraus:
>
> Extremstelle also U=0
>
> -4q+2= 0
> -4q= -2
> q= 0.25
>
> ... hab ich soweit richtig gerechnet?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] \\-4q=-2
[/mm]
[mm] \\q=\bruch{2}{4}
[/mm]
[mm] \\q=\bruch{1}{2}
[/mm]
Nun [mm] \\U'' [/mm] ausrechnen...
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Mo 22.09.2008 | | Autor: | markus07 |
In meiner obigen Rechnung ist nen Fehler drin, nämlich eine 2 zuviel.
In Wirklichkeit ist q= 0 und daraus folgend U= 4...
... ich hoffe das stimmt dann mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, q=0, wie willst ein Rechteck mit der Breite/ Länge 0 (LE) zeichnen, überprüfe das Auflösen deiner Klammern, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mo 22.09.2008 | | Autor: | markus07 |
mhh stimmt :(
... das was ich zuerst geschrieben habe war korrekt
q= 0,5 daraus ergibt sich U= 8,5 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Mo 22.09.2008 | | Autor: | markus07 |
edit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 22.09.2008 | | Autor: | markus07 |
mhh ok... ich habe ja q= 0,5 und dann U= 8 ausgerechnet... die 3,75 kamen in meiner Rechnung allerdings nicht vor. Hab ich da einen Schritt ausgelassen?
U ist also jetzt der Punkt der ein größtmögliches Rechteck ergibt.
... warum aber [mm] q/4-q^2 [/mm] ist mir wenn ich es lese klar, denke aber, dass ich in einer Klausur auf sowas nicht kommen werde. Ist das eine strickte Regel an die ich mich nhalten kann, wenn ein Punkt auf der Parabel gesucht wird dann Punkt/Funktion und ab damit in die Umfangfunktion?
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Hi,
> mhh ok... ich habe ja q= 0,5 und dann U= 8 ausgerechnet...
Ne du hattest doch [mm] \\U=\red{8,5}
[/mm]
> die 3,75 kamen in meiner Rechnung allerdings nicht vor. Hab
> ich da einen Schritt ausgelassen?
Das kann ich dir nicht beantworten ob du da einen Punkt weggelassen hast weil ich nicht deine komplette Rechnung gesehen habe. Also du hast doch [mm] \\f'(q)=0 [/mm] ausgerechnet. Da bekommst du doch [mm] \\q=0,5 [/mm] heraus.
q ist ja sozusagen dein x-Wert. Du brauchst also noch den y-Wert. Diesen bekommst du wenn du die 0,5 in [mm] \\4-q² [/mm] einsetzt. Damit kommst 3,75 heraus. Also als Koordinaten für den Punkt bekommst du: (0,5/3,75) heraus.
>
> U ist also jetzt der Punkt der ein größtmögliches Rechteck
> ergibt.
Richtig mit den Ecken in (0/0) , (0,5/0) , (0,5/3,75) und (0/3,75) hat das Rechteck den größtmöglichen Umfang.
>
> ... warum aber [mm]q/4-q^2[/mm] ist mir wenn ich es lese klar, denke
> aber, dass ich in einer Klausur auf sowas nicht kommen
> werde. Ist das eine strickte Regel an die ich mich nhalten
> kann, wenn ein Punkt auf der Parabel gesucht wird dann
> Punkt/Funktion und ab damit in die Umfangfunktion?
An für sich ist es zwecksmäßig dir eine Zeichnung vom Problem (zu extremierende Größe) anzufertigen. Das erleichtert vieles. Und dann musst du die Zielfunktion aufstellen und schauen was extrem werden muss (also brauchst du noch eine Nebenbedingung, in deinem Fall war die Nebenbedingung [mm] \\U=2a+2b [/mm] ). Das Schema ist fast immer das gleiche. Übe ein wenig an anderen Aufgaben damit du sicherer beim Umgang im Lösen von Extremalaufgaben wirst.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 22.09.2008 | | Autor: | markus07 |
Supi... ok, das hab ich begriffen.
Was mir noch nicht ganz schlüssig ist, wie ich auf die Umfangsfunktion komme. Klar, beim Rechteck U= a*b ... aber daraus U= 2q + 2 erschließt sich mir nicht. Da liegt auch mein Hauptproblem erstmal auf so etwas zu kommen :(...
nächster Punkt: Habe jetzt die Q-Koordinaten ausgerechnet. Wie finde ich jetzt raus welches Rechteck den größten Umfang hat oder hab ich das schon ausgerechnet und vertue mich gerade? (sorry doppelpost aber sonst geht die Frage verloren weil ich sie aus Versehen als Mitteilung gepostet habe)
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Hallo, da hilft Übung, dann Erfahrung (durch Übung) und immer eine Skizze,
[Dateianhang nicht öffentlich]
dein Rechteck ist OABC, dein q entspricht der Breite, der Strecke [mm] \overline{OA}, [/mm] somit brauchen wir 2q, die Stecke [mm] \overline{OA} [/mm] und [mm] \overline{BC}, [/mm] die Länge ist f(q), die Strecke [mm] \overline{AB}, [/mm] die wir ebenfalls 2 mal benötigen, [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{CO}, [/mm] also 2*f(q), f(q) ist ja deine Funktion, also ist der Umfang [mm] u=q+q+(4-q)^{2}+(4-q^{2}=2q+2(4-q)^{2}
[/mm]
ach ja: u=a*b ist doch keine Umfangsformel, a*b ist die Fläche!!!
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mo 22.09.2008 | | Autor: | markus07 |
Danke für die Erläuterung inkl. Skizze, macht einiges klarer.
Und ja ich weiß, hab Fläche und Umfang verwechselt. :-D
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
