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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Sa 14.10.2006 | | Autor: | lauravr |
| Aufgabe | In einen geraden Kreiskegel mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden.
Bestimme die Maße des Zylinders in Abhängigkeit von r und h! |
(Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.)
Hallo,
hab hier eine Aufgabe, bei der ich mir mit dem Ergebnis nicht ganz so sicher bin.
Mein Ansatz war folgender:
Habe mir das ganze zwei-dimensional in einem Achsenkreuz vorgestellt. Der Kreiskegel ( [mm] r_{k} [/mm] , [mm] h_{k} [/mm] ) war durch zwei achsensymmetrische Geraden s(x), t(x) dargestellt (wie ein Dreieck). Der Zylinder ( [mm] r_{z} [/mm] , [mm] h_{z} [/mm] )wurde wie ein Recheck dadrin dargestellt.
s(x) = - [mm] \bruch{h_{k}}{r_{k}}x [/mm] + [mm] h_{k} [/mm] = y
A = [mm] r_{z} [/mm] * [mm] h_{z} [/mm] = x*y
A = x ( - [mm] \bruch{h_{k}}{r_{k}}x [/mm] + [mm] h_{k} [/mm] )
= - [mm] \bruch{h_{k}}{r_{k}}x² [/mm] + [mm] h_{k}x
[/mm]
A'= - [mm] \bruch{2h_{k}}{r_{k}}x [/mm] + [mm] h_{k}
[/mm]
0 = - [mm] \bruch{2h_{k}}{r_{k}}x [/mm] + [mm] h_{k} [/mm] => x = [mm] \bruch{r_{k}}{2} [/mm] = [mm] r_{z}
[/mm]
y = - [mm] \bruch{h_{k}}{r_{k}} [/mm] * [mm] \bruch{r_{k}}{2} [/mm] + [mm] h_{k} [/mm] = [mm] \bruch{h_{k}}{2}
[/mm]
=> Der Radius des Zylinders ist halber Radius des Kegels ( [mm] r_{z} [/mm] = [mm] \bruch{r_{k}}{2} [/mm] ) . Die Höhe des Zylinders ist die halbe des Kegels ( [mm] h_{z} [/mm] = [mm] \bruch{h_{k}}{2} [/mm] ) . So wird das maximale Volumen des Zylinders [mm] V_{z} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{r_{k}²}{4} [/mm] * [mm] \bruch{h_{k}}{2} [/mm] erreicht.
Ist die Lösung richtig?
Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand diese Lösung überprüfen könnte.
lg Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo laura!
Ich habe keinen Fehler entdeckt in Deiner Rechnung. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Der Vollständigkeit halber solltest Du allerdings den Wert [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] \bruch{r_K}{2}$ [/mm] in die 2. Ableitung $A''(x)_$ einsetzen und überprüfen, ob es sich auch wirklich um ein Maximum handelt mit [mm] $A''(x_E) [/mm] < 0$ (hinreichendes Kriterium).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Sa 14.10.2006 | | Autor: | lauravr |
> Der Vollständigkeit halber solltest Du allerdings den Wert
> [mm]x_E \ = \ \bruch{r_K}{2}[/mm] in die 2. Ableitung [mm]A''(x)_[/mm]
> einsetzen und überprüfen, ob es sich auch wirklich um ein
> Maximum handelt mit [mm]A''(x_E) < 0[/mm] (hinreichendes
> Kriterium).
A''(x) = - [mm] \bruch{2h_{k}}{r_{k}} [/mm] < 0 -> Maximum bei x = [mm] \bruch{r_K}{2}
[/mm]
Danke für deinen Hinweis und natürlich für das Kontrollieren ;) .
Lg Laura
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