Extremwert aufgabe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Ernesto |
Hola, schönen guten abend, nun zum ernst der Lage
Folgedens Problem erzürnt mich nun schon eine Weile.
Bestimmen den Quader mit maximalem Volumen in der Einheitskugel
[mm] \{ (x,y,z) |x^2+y^2+z^2 \le 1 \}
[/mm]
Dies ist eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Ich weiss wie man sowas lösst aber ich habe hier keine Ahnung welchen Ansatz ich brauche . Ich bitte um schnelle und ergiebige Hilfe
MFG Thomas
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Hallo Ernesto,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen den Quader mit maximalem Volumen in der
> Einheitskugel
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> [mm]\{ (x,y,z) |x^2+y^2+z^2 \le 1 \}[/mm]
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> Dies ist eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Ich
> weiss wie man sowas lösst aber ich habe hier keine Ahnung
> welchen Ansatz ich brauche . Ich bitte um schnelle und
> ergiebige Hilfe
Das Volumen des Quaders soll ja maximal werden.
[mm]V\; = \;x\;y\;z[/mm]
Ersetzt Du hier z durch [mm]\sqrt {1\; - \;x^2 \; - \;y^2 } [/mm], so kannst Du dann die Funktion V(x,y) auf Extremwerte untersuchen.
Gruß
MathePower
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Hallo Ernesto,
dadurch dass der Quader in der Einheitskugel liegen soll ist dessen Raumdiagonale vorgegeben.
Nun kann man mit Hilfe der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel zeigen, dass unter allen Quadern mit gleicher Raumdiagonale der Würfel das Größte Volumen besitzt:
[mm] d_Q^2=a^2+b^2+c^2 \le 3\wurzel[3]{a^2b^2c^2}=3V^{\frac{2}{3}}=d_W^2[/mm]
Daher ist dein Quader ein Würfel.
Für ihn gilt: [mm] d_W=\wurzel{3}a=1\gdw a=\frac{1}{3}\wurzel{3}[/mm]
Gruß Samuel
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