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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Di 06.05.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Bestimmen sie Alle Extremstellen von f(t)
f(t) = [mm] \bruch{sin^2 (t)}{(1-\alpha cos(t))^5} [/mm] mit [mm] \alpha \in [/mm] (0;1) |
f(t) = [mm] \bruch{sin^2 (t)}{(1-\alpha cos(t))^5} [/mm]
f'(t) = [mm] \bruch{u'*v - u*v'}{v^2}
[/mm]
u = [mm] sin^2 [/mm] (t) u'= 2sin(t) * cos(t)
v = [mm] (1-\alpha cos(t))^5 [/mm] v' = [mm] 5(1-\alpha cos(t))^4 [/mm] * [mm] \alpha [/mm] sin(t)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
f'(t) = [mm] \bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t))^5 - sin^2 (t)*5(1-\alpha cos(t))^4 * \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
f'(t) = [mm] \bruch{2sin(t) * cos(t) - 5sin^3 (t)* \alpha}{1-\alpha cos(t)}
[/mm]
ist die ableitung richtig?
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> Bestimmen sie Alle Extremstellen von f(t)
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> f(t) = [mm]\bruch{sin^2 (t)}{(1-\alpha cos(t))^5}[/mm] mit [mm]\alpha \in[/mm]
> (0;1)
>
Hallo,
> f(t) = [mm]\bruch{sin^2 (t)}{(1-\alpha cos(t))^5}[/mm]
>
> f'(t) = [mm]\bruch{u'*v - u*v'}{v^2}[/mm]
>
> u = [mm]sin^2[/mm] (t) u'= 2sin(t) * cos(t)
richtig
>
> v = [mm](1-\alpha cos(t))^5[/mm] v' = [mm]5(1-\alpha cos(t))^4[/mm] * [mm]\alpha[/mm] sin(t)
richtig.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> f'(t) = [mm]\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t))^5 - sin^2 (t)*5(1-\alpha cos(t))^4 * \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}}[/mm]
Das stimmt auch.
>
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> f'(t) = [mm]\bruch{2sin(t) * cos(t) - 5sin^3 (t)* \alpha}{1-\alpha cos(t)}[/mm]
Aber was Du hier gemacht hast...
OmG! Ich weiß es: Du hast aus Summen gekürzt. Ganz, ganz furchtbar!
So geht es richtig:
f'(t) = [mm]\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t))^5 - sin^2 (t)*5(1-\alpha cos(t))^4 * \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}}[/mm]
[mm] =\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t))^4*(1-\alpha cos(t)) - sin^2 (t)*5(1-\alpha cos(t))^4 * \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(1-\alpha cos(t))^4*[2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t)) - sin^2 (t)*5* \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{10}}
[/mm]
[mm] =\bruch{[2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t)) - sin^2 (t)*5* \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{6}}
[/mm]
und jetzt weiter.
LG Angela
>
>
> ist die ableitung richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 06.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
ich bin mir nicht sicher ob ich die additionstheorien richtig benutzt habe:
0 [mm] =\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t) - sin^2 (t)*5* \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{6}}
[/mm]
0 = 2sin(t) * [mm] cos(t)*(1-\alpha [/mm] cos(t)) - [mm] sin^2(t)*5* \alpha [/mm] sin(t)
0 = 2sin(t)* cos(t) - [mm] \alpha cos^2(t))- sin^2(t)*5 \alpha [/mm] sin(t)
kann ich jetzt folgende additiosntheorie benutzen?
Additionstheorie: [mm] \alpha cos^2(t)- sin^2(t) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] cos(2t)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
0 = 2sin(t)* cos(t) - [mm] \alpha [/mm] cos(2t)* 5 [mm] \alpha [/mm] sin(t)
kann das jemand überprüfen?
hier kann ich nochmal die additiosntheorie benutzen oder? wenn ja wie werden die faktoren berücksichtigt?
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Hallo needmath,
> hi,
>
> ich bin mir nicht sicher ob ich die additionstheorien
> richtig benutzt habe:
>
> 0 [mm]=\bruch{2sin(t) * cos(t)*(1-\alpha cos(t) - sin^2 (t)*5* \alpha sin(t)}{(1-\alpha cos(t))^{6}}[/mm]
>
>
> 0 = 2sin(t) * [mm]cos(t)*(1-\alpha[/mm] cos(t)) - [mm]sin^2(t)*5* \alpha[/mm]
> sin(t)
>
> 0 = 2sin(t)* cos(t) - [mm]\alpha cos^2(t))- sin^2(t)*5 \alpha[/mm]
> sin(t)
>
Das muss doch so lauten:
[mm]0 = 2sin(t)* \red{(}cos(t) - \alpha cos^2(t))- sin^2(t)*5 \alpha
sin(t)[/mm]
Jetzt kannst Du diesen Ausdruck faktorisieren.
>
> kann ich jetzt folgende additiosntheorie benutzen?
>
> Additionstheorie: [mm]\alpha cos^2(t)- sin^2(t)[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
> cos(2t)
>
Das ist nicht so sinnvoll.
Sinnvoller ist, das Additionstheorem [mm] sin^2(t) =1-cos^2(t)[/mm] zu verwenden.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> 0 = 2sin(t)* cos(t) - [mm]\alpha[/mm] cos(2t)* 5 [mm]\alpha[/mm] sin(t)
>
> kann das jemand überprüfen?
>
> hier kann ich nochmal die additiosntheorie benutzen oder?
> wenn ja wie werden die faktoren berücksichtigt?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 06.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
ich bin jetzt hier:
0 = 2sin(t)* cos(t)* [mm] [1-\alpha [/mm] cos(t)] - 5 [mm] \alpha [/mm] sin(t) * [1-cos(t)]
sinus kürzen:
0 = 2cos(t)* [mm] [1-\alpha [/mm] cos(t)] - 5 [mm] \alpha [/mm] * [1-cos(t)]
0 = 2cos(t) - [mm] 2\alpha cos^2(t) [/mm] - 5 [mm] \alpha [/mm] - 5 [mm] \alpha [/mm] cos(t)
wie mache ich hier weiter?
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Hallo needmath,
> hi,
>
> ich bin jetzt hier:
>
> 0 = 2sin(t)* cos(t)* [mm][1-\alpha[/mm] cos(t)] - 5 [mm]\alpha[/mm] sin(t) *
> [1-cos(t)]
>
Da hast Du den Exponenten 2 beim Ersetzen vergessen:
[mm]0 = 2sin(t)* cos(t)* [1-\alpha cos(t)] - 5 \alpha sin(t) * [1-cos\red{^{2}}(t)][/mm]
> sinus kürzen:
>
> 0 = 2cos(t)* [mm][1-\alpha[/mm] cos(t)] - 5 [mm]\alpha[/mm] * [1-cos(t)]
>
Das lautet dann:
[mm]0 = 2cos(t)* [1-\alpha cos(t)] - 5 \alpha * [1-cos\red{^{2}}(t)][/mm]
> 0 = 2cos(t) - [mm]2\alpha cos^2(t)[/mm] - 5 [mm]\alpha[/mm] - 5 [mm]\alpha[/mm]
> cos(t)
>
Hier dann entsprechend:
[mm]0 = 2cos(t) - 2\alpha cos^2(t) - 5 \alpha \blue{+} 5 \alpha cos\red{^{2}}(t)[/mm]
> wie mache ich hier weiter?
>
Substituiere [mm]z=\cos\left(t\right)[/mm].
Das ergibt dann eine quadratische Gleichung in z.
Gruss
MathePower
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