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| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= [mm] -e^x [/mm] -2e^-x + 4,5 mit Kurve K. P(u|f(u)) liegt für 0<u<ln4 auf K. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch P begrenzen mit den Achsen ein Rechteck. Für welchen Wert von u wird der Umfang des Rechtecks extremal? |
Hallo
ich habe bereits ein Schaubild gemacht um es besser sehen zu können. 0<u<ln4 verstehe ich auch. In diesem Rahmen muss der Extrempunkt liegen.
Der Umfang eines Rechtecks ist U=2a+2b
Darauß wird
U(u)= 2u+2f(u)
U(u)= [mm] 2u+2(-e^x [/mm] - 2e^-x + 4,5) Dies ist die Zielfunktion laut der Lösung.
Wie gehe ich weiter vor? In der Lösung stehen auch Nullstellen x= In 4; x= -In2
U wird maximal für P(u/f(u)
Wer kann mir helfen? Wie gehe ich weiter vor..?
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Hallo,
> Wie gehe ich weiter vor? In der Lösung stehen auch
> Nullstellen x= In 4; x= -In2
>...
> Wer kann mir helfen? Wie gehe ich weiter vor..?
Nun muss die Zielfunktion einmal abgeleitet werden. Diese Ableitung muss man gleich Null setzen. Daraus resultiert eine Gleichung der Form
[mm] A+B*e^x+C*e^{-x}=0
[/mm]
die man zuznächst mit [mm] e^x [/mm] multipliziert und anschließend mit Hilfe der Substitution
[mm] t=e^x
[/mm]
in eine quadratische Gleichung transformiert. Ist dir die weitere Vorgehensweise dann klar?
Gruß, Diophant
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Hallo,
danke für die schnelle Antwort :)
Das heißt ich muss die Funktion
[mm] U(u)=2u+2(-e^u-2e^-u+4,5) [/mm] erstmal lösen (das -u ist hochgestellt
[mm] U(u)=2u-2e^u+2e^-u+9
[/mm]
Die Ableitung darauß wäre dann
[mm] U'(u)=2-2e^u+4e^-u
[/mm]
Diese Null setzen
U'(u)=0 --> [mm] 0=2-2e^u+4e^-u
[/mm]
So weiter war es für mich nicht klar. Wenn ich jetzt
[mm] 0=2-2e^u+4e^-u /*e^u
[/mm]
oder
[mm] 0=2-2e^x+4e^-x /*e^x
[/mm]
multipliziere was soll dann rauskommen? Das verstehe ich jetzt nicht.
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Hallo,
> Das heißt ich muss die Funktion
> [mm]U(u)=2u+2(-e^u-2e^-u+4,5)[/mm] erstmal lösen (das -u ist
> hochgestellt
>
> [mm]U(u)=2u-2e^u+2e^-u+9[/mm]
>
> Die Ableitung darauß wäre dann
> [mm]U'(u)=2-2e^u+4e^-u[/mm]
ja, das passt.
> So weiter war es für mich nicht klar. Wenn ich jetzt
> [mm]0=2-2e^u+4e^-u /*e^u[/mm]
>
> oder
>
> [mm]0=2-2e^x+4e^-x /*e^x[/mm]
>
> multipliziere was soll dann rauskommen? Das verstehe ich
> jetzt nicht.
[mm] 0=2-2e^u+4e^{-u} |*e^u
[/mm]
[mm] 0=2*e^u-2*e^{2u}+4 [/mm] |:-2
[mm] 0=e^{2u}-e^u-2
[/mm]
Und jetzt kommt die Substitution. Siehst du jetzt den tieferen Sinn hinter der Umformung?
Gruß, Diophant
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Danke einfach auflösen da stand ich jetzt ziemlich aufm Schlauch ;)
So und nun die Substitution. Dafür muss ich doch alle [mm] e^x [/mm] in ein z umwandeln und dann wieder normal lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Ja, Du bekommst dadurch eine quadtratische Gleichung, die mit Hilfe der bekannten Mittel gelöst werden kann.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo,
also ich habe die [mm] e^x [/mm] durch ein z ersetzt
0=e^2x - [mm] e^x [/mm] -2
[mm] 0=z^2 [/mm] -z-2
Das habe ich durch die a,b,c-Formel gelöst und einmal 2 und einmal -1 erhalten. Dann habe ich Die 2 und die -1 in 0=e^2x - [mm] e^x [/mm] -2 für die [mm] e^x [/mm] eingesetzt und beides mal 0 erhalten. Wo liegt mein Denkfehler?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
Du hast doch jetzt zwei Lösungen bekommen für Deine Variable z , nämlich -1 und 2. Das war ja aber nur ein Zwischenschritt, denn Du hattest doch
[mm] z = e^x [/mm]
gesetzt und Du suchst die dazu passenden x-Werte. Die -1 führt zu keinem Ergebnis, da es keine Potenz der e-Funktion gibt, die auf eine negative Zahl führt, zumindest nicht im Reellen.
Aber es gibt natürlich ein x, so dass
[mm] e^x = 2 [/mm] gilt.
Damit kannst Du nun weiterrechnen.
Viele Grüße,
Infinit
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Also so
0= e^2x [mm] -e^x [/mm] -2 (2 einsetzen)
0= [mm] 2^2 [/mm] - 2 - 2
0=0
Darum bin ich nicht weiter gekommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Sa 11.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Also so
>
> 0= e^2x [mm] $-e^x$ [/mm] -2 (2 einsetzen)
> 0= [mm] $2^2$ [/mm] - 2 - 2
> 0=0
>
> Darum bin ich nicht weiter gekommen.
Oh Nein. [mm] e^{2x}\ne2^{2} [/mm] und [mm] e^{2}\ne2
[/mm]
Du hattest:
[mm] 0=e^{2u}-e^u-2 [/mm]
Mit der Substituition [mm] z=e^{u} [/mm] bekommst du:
[mm] 0=z^{2}-z-2
[/mm]
Das führt zu folgenden Lösungen für z:
[mm] z_{1}=-1 [/mm] und [mm] z_{2}=2
[/mm]
Nun willst du lösungen für u, also mache die Sunstituition rückgängig, also löse folgende beiden Gleichungen nach u für die Lösung deiner Ausgangsgleichung.
[mm] e^{u}=-1 [/mm] bzw. [mm] e^{u}=2
[/mm]
Marius
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Aber -1 und 2 hab ich ja bereits durch die abc-Formel gelöst. Die Frage ist nun wie mache ich drauß nun die Rücksubstitution? In welche Formel setzte ich die Zahlen ein? Und wenn ich es z.B in die e einsetzt wie löse ich es auf das ich auf
P(0,69/1,5) kommme?
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Sa 11.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Aber -1 und 2 hab ich ja bereits durch die abc-Formel
> gelöst.
Das sind Werte für deine Hilfsvariable z.
> Die Frage ist nun wie mache ich drauß nun die
> Rücksubstitution?
mit der Definition der Substittion, also [mm] z=e^{u}
[/mm]
> In welche Formel setzte ich die Zahlen
> ein? Und wenn ich es z.B in die e einsetzt wie löse ich es
> auf das ich auf
>
> P(0,69/1,5) kommme?
Wende auf
[mm] e^{u}=-1 [/mm] und auf [mm] e^{u}=2 [/mm] die Umkehrfunktion der e-Funktion, also den Logarithmus Naturalis an.
Dieses führt bei einer der beiden Gleichungen zu einen Widerspruch, die andere Lösung für u ist die 1.Koordinate eines möglichen Extrempunktes der Unfangsfunktion U(u).
Setzt man diese Koordinate in U ein, ergibt sich mit der 2. Koordinate der gesuchte Umfang.
>
> Danke :)
Marius
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Danke für eure Hilfe :)
Logarithmen hab ich noch nie hibekommen.
Ich bin da extrem überfragt.
ich würde es vill so machen
[mm] 0=2*2-2e^2 [/mm] + 2e^-2 +9
[mm] 0=-2e^2 [/mm] +2e^-2 +13 [mm] /+2e^2
[/mm]
[mm] -2e^2 [/mm] = 2e^-2 +13
[mm] In(-2e^2) [/mm] = In(2e^-2) +13
In(-2)+ [mm] In(e^2) [/mm] = In(2) + (e^-2) + 13
In(-2)+ In(1) = In(2) + (1)
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Hallo,
> ich würde es vill so machen
>
> [mm]0=2*2-2e^2[/mm] + 2e^-2 +9
> [mm]0=-2e^2[/mm] +2e^-2 +13 [mm]/+2e^2[/mm]
> [mm]-2e^2[/mm] = 2e^-2 +13
> [mm]In(-2e^2)[/mm] = In(2e^-2) +13
> In(-2)+ [mm]In(e^2)[/mm] = In(2) + (e^-2) + 13
> In(-2)+ In(1) = In(2) + (1)
nein, so darf man es nicht machen. Der Logarithmus ist ja die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Das bedeutet, dass Logarithmus und exp-Funktion sich gegenseitig aufheben, genau so wie Wurzel und Quadrat dies für nichtnegative Zahlen tun. Also
[mm] e^{ln(x)}=x
[/mm]
Aber eben auch
[mm] ln\left(e^x\right)=x.
[/mm]
Da jedoch die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, kann man auch nur von positiven Zahlen den Logarithmus berechnen (zumindest im Rahmen der Schulmathematik). Siehst du, weshalb dann von deinen errechneten Werten für z nur eine der beiden Lösungen in Frage kommt?*
Wenn du diese Lösung in die Substitutionsgleichung einsetzt, dann bekommst du die Gleichung
[mm] e^x=2
[/mm]
welche du jetzt noch nach x auflösen musst, und zwar unter Anwendung der ln-Funktion auf beiden Seiten.
*Es kommt häufig vor, dass man nach dem Substituieren zunächst Lösungen erhält, die für die Ausgangsrechnung entweder nicht erlaubt sind oder aber einfach keinen Sinn ergeben. Hier ist ersteres der Fall.
Gruß, Diophant
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Also umgehe ich das alles und nehme die 2 aus der Lösung der Abc-Formel und sage [mm] e^x [/mm] = 2 dann einfach ln(2) und das wärs dann.
Also bis auf das Logoarithmuszeugs hab ich alles verstanden. Den restlichen Teil muss ich mir mit dem Lösungsweg vom Lehrer anschauen sonst werd ich das nich verstehen.
Danke :)
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