Extremwert mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen.
[mm]f(x,y)=x^{2}-2xy[/mm]
Nebenbedingung: [mm]y=2x-6[/mm] |
Tjoa ich komm hier net so recht weiter.
Muss ich hier gleich mit Lagrange anrücken oder setze ich die NB einfach in f(x,y) ein?
..wenn Lagrange muss ich dann die NB=0 setzen? O.o
mfg&thx markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Di 11.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo,
du kannst beides machen.
wenn du aber mit Lagrange machst, musst du erstmal alles auf die linke seite bringen und dann auf 0 setzen 
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| Aufgabe | Berechnen Sie alle Extremwerte der Funktion
[mm]f(x,y)=3x^{2}y[/mm]
im Bereich [mm]\{(x,y) \in \IR^{2}|4x^{2}+9y^{2} \le 36\}[/mm] |
Hallo nochmal, ^^
also...ich gehe mal davon aus, dass ich meinen Bereich hier in Nebenbedingungen verpacken muss und dann weiter mit Lagrange rechne.
...oder? wie bekomme ich den nun die NB hier raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 11.09.2007 | | Autor: | holwo |
ja hallo noch mal :)
also da sind sozusagen 2 teilaufgaben.
Erstmal musst du die extremstellen im inneren des bereiches finden, also wo [mm] 4x^2+9y^2<36 [/mm] wenn es solche gibt, also den Gradient berechnen, Nullstellen bestimmen, in der hessesche matrix einsetzen, usw.. .
Dann musst du die Nullstellen aufm Rand berechnen, und da kommt lagrange:
die NB ist [mm] 4x^2+9y^2=36 [/mm] also [mm] 4x^2+9y^2-36=0
[/mm]
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ohoh und da gehts schon los:
(1) Notwendige Bedingung
[mm]\nabla f= \vektor{6xy \\ 3x^{2}}[/mm]
daraus folgt dann ja sowas: =/
[mm]P(0,\sum_{n=0}^{\infty} n)[/mm] weil ich für y alles einsetzen kann.
(2) Hinreichende Bedingung
[mm]H_{f}= \pmat{ 6x & 6x \\ 6x & 0 }[/mm]
oder hab ich nen Fehler drin? weiss net wie ich jetz weiterrechnen soll. =/
mfg markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Do 13.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo!
dein gradient ist falsch
um [mm] f_{x} [/mm] zu rechnen, musst du so tun , als y eine konstante, also eine zahl, wäre, und dann nach x ableiten
bei [mm] f_{y} [/mm] analog
die funktion ist ja [mm] x^2-2xy [/mm] also [mm] f_{x} [/mm] wäre 2x-2y
dann berechnest du [mm] f_{y} [/mm] und dann hast du dein gradient. Du kannst dirs so vorstellen, dass der gradient die erste ableitung der funktion ist (bei den ganz "normalen" funktionen).. und da setzt man die ableitung auf 0 um die kandidaten für extrema zu bestimmen ..
also analog setzt du dein gradient auf 0.
dann berechnest du [mm] f_{xx}, f_{xy}, f_{yx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] und setzt du die kandidaten ein. Erst dann weisst du ob die kandidaten extrema sind . wenn nicht, sind sie sattelpunkte
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> Hallo!
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> dein gradient ist falsch
> um [mm]f_{x}[/mm] zu rechnen, musst du so tun , als y eine
> konstante, also eine zahl, wäre, und dann nach x ableiten
> bei [mm]f_{y}[/mm] analog
> die funktion ist ja [mm]x^2-2xy[/mm]
Hallo,
es geht inzwischen um eine andere Funktion, und für die stimmt der Gradient.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Do 13.09.2007 | | Autor: | holwo |
oh ok,sorry, hatte nicht gesehen!
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> ohoh und da gehts schon los:
>
> (1) Notwendige Bedingung
>
> [mm]\nabla f= \vektor{6xy \\ 3x^{2}}[/mm]
>
> daraus folgt dann ja sowas: =/
Hallo,
=/ , das sieht geheimnisvoll aus...
>
> [mm]P(0,\sum_{n=0}^{\infty} n)[/mm] weil ich für y alles einsetzen
> kann.
Was Du da schreibst, ist verkehrt, denn es sagt, daß die y_Komponente nur 0, 0+1, 0+1+2, 0+1+2+3,... lauten darf.
Aber da geht doch mehr.
Schreib z.B. so: für alle Punkte P mit P=(0,t), [mm] t\in \IR [/mm] ist der Gradient =0.
>
> (2) Hinreichende Bedingung
>
> [mm]H_{f}= \pmat{ 6x & 6x \\ 6x & 0 }[/mm]
>
> oder hab ich nen Fehler drin?
Nein, kein Fehler ist drin.
Jetzt guckst Du Dir die Hessematrix im Punkt (0,t) an.
[mm] H_{f}(0,t)= \pmat{ 0 & 0\\ 0 & 0 }.
[/mm]
Du stellst fest: anhand dieser Matrix kann man nichts entscheiden.
>weiss net wie ich jetz
> weiterrechnen soll. =/
Jetzt muß man erstmal nachdenken.
Der Gradient =0 für (0,t), für die Punkte, die auf der y-Achse liegen.
Der Funktionswert ist an allen diesen Stellen =0 , f(0,t)=0.
Ich würde nun den positiven Teil der y-Achse, den Punkt (0,0) und den negativen Teil getrennt betrachten.
Versuche, Dir über das Aussehen des Gebirges Klarheit zu verschaffen. Wie sind die Funktionswerte im direkten Umkreis von z.B. (0,2), wie, wenn man den Umkreis von (0,-2) betrachtet?
Dann noch den Punkt (0,0) anschauen.
Ich würde hier erstmal meine Vorstellungskraft bemühen, und das dann später mathematisch untermauern, entweder durch Betrachtung der Funktionswerte in den Umgebungen, oder mit der Richtungsableitung.
Gruß v. Angela
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Ich hab das ding mal geplottet, weil ich so schecht im vorstellen bin. =)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Oh, das ist aber schön!
Womit machst Du das?
Ist das einfach? (Ich bin diesbezüglich nämlich der Unverstand auf zwei Beinen.)
Gruß v. Angela
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das ist total einfach...bis ich mit mathe gefangen hab zu lernen war ich auch laie.
das programm nennt sich maple 11...ich hab nach maple +befehle gegoogelt und dann bekommt man nen befehl 3dplot dann gibt man das ganze in der form ein:
[mm] plot3d([3*x^2*y], [/mm] x = -5 .. 5, y = -5 .. 5) und schon hat man seinen 3dplot
es gibt aber noch duzende andere programme die das können
ich glaub es geht sogar online...da muss ich aber erstmal suchen. =)
mfg markus
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