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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Sei $K:= [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 : x^2+4y^2 = 16 \} [/mm] $
Sei $f(x,y) := [mm] x^2+y^2 [/mm] - 2x +1 [mm] \forall [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^2$
[/mm]
a)Was ist der größte (der kleinste) Wert, den f auf K annimmt
b) Bestimmen Sie ebenfalls die Punkte $(a,b) [mm] \in \IK$, [/mm] wo die in a) genannte WErte angenommen werden |
Hoi.
Ich habe hier mal versucht die Aufgabe zu lösen.
[mm] $\nabla [/mm] g(x,y) = (2x,8y) = f(0,0)$
[mm] $\exists \lambda \in \IR [/mm] : [mm] \nabla [/mm] f(a,b) = [mm] \lambda \nabla [/mm] g (a, b) = [mm] \lambda [/mm] (2a, 8b) = [mm] (2a\lambda [/mm] , 8b [mm] \lambda) [/mm] $
1) [mm] $2\lambda [/mm] a = 2a -2$
2) [mm] $8\lambda [/mm] b = 2b [mm] \Rightarrow \lambda =\frac{1}{4} [/mm] fuer \ [mm] b\not= [/mm] 0$
3) [mm] $a^2+4b^2 [/mm] = 16$
Für b = 0 folgt aus 3 [mm] a^2 [/mm] = 16 [mm] \gdw a=\pm4
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] in 1)
[mm] $2*\frac{1}{4}a [/mm] = 2a-2 [mm] \gdw [/mm] a= [mm] \frac{4}{3}$
[/mm]
in 3)
[mm] $(\frac{4}{3})^2 [/mm] + [mm] 4b^2 [/mm] = 16 [mm] \Rightarrow \sqrt{\frac{16-\frac{16}{9}}{4}} [/mm] = b$
Die Punkte müssten somit sein
$(4,0), (-4,0), [mm] (\frac{4}{3}, \frac{\sqrt{32}}{3}), (\frac{4}{3}, -\sqrt{\sqrt{32}}{3})$
[/mm]
$f(4,0) = 9$
$f(-4,0) = 25$
[mm] $f(\frac{4}{3}, \frac{\sqrt{32}}{3}) [/mm] = [mm] \frac{33}{9}$
[/mm]
[mm] $f(\frac{4}{3}, -\frac{\sqrt{32}}{3}) [/mm] = [mm] \frac{33}{9}$
[/mm]
Ich glaube, der Fall a = 0 ist auch noch bedeutend oder? Also die Punkte brauch man nicht unbedingt nachrechnen, es geht mehr hier eher ums Prinzip.
Wie bestimme ich denn jetzt den grö0ten Wert und den kleinsten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du richtig gerechnet hast, dann hast du doch schon f=25 alsgrößten und 33/9 als kleinsten!
(a=0 geht nicht, siehe deine erste Gleichung!)
übrigens ein anderer Weg ,der auch sicherer und schneller ist:
parametrisiere K: [mm] x=4cos\phi y=2sin\phi, [/mm] setze in f ein und differenziere. bestimme die Nullstellen der Ableitung, 2. Ableitung ergibt max oder Min. dann Werte ausrechnen an den Stellen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo Leduart.
Das war ja einfach
Ich danke dir, auch für die Alternativ Anleitung.
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