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Forum "Extremwertprobleme" - Extremwertaufgabe

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Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:31 Sa 01.01.2005
Autor:	Eirene

Hi @ll !!!
also ich brauche bitte bitte Hilfe bei foldender Aufgabe

f(x) =  [mm] x^{3} [/mm] - 3 [mm] x^{2} [/mm] +4
Achsenschnittpunkte:
N (-1/0)  N(2/0)
Extrema:
E(0/4) E(2/0)
wendepunkte:
W(1/2)

so, ich hoffe das alles ist richtig
dann die nächste Aufgabe:  b) Der Graph f begrenzst mit den
Koordinatenachsen im 1. Quadrant eine Fläche. berechne
deren Flächeninhalt.
also ich hab integriert von 0 bis 2 und dann kam 4 raus, das
müsste dann eigentlich auch richtig sein,
so und jetzt kommen die Aufgaben die ich überhaupt nicht kann:
c) Bestimme unter allen achsenparallelen Rechtecken innerhalb der
in Teilaufgabe b) beschriebenen Fläche dasjenige mit dem größten Flächeninhalt.

und dann noch
d)  [mm] f_{k} [/mm] (x) =  [mm] x^{3}+ [/mm] (k-4) [mm] x^{2} [/mm] +(4-4k)x +4k
Zeige, dass die Funktion f zur Funktionenschar  [mm] f_{k} [/mm] gehört und dass bis auf einen alle Funktionsgraphen an der Stelle 2 die 1, Achse berühren.
Hier weiß ich nur dass man die Koofizenten vergleichen muss
Und die 1. Ableitung von  [mm] f_{k} [/mm] = 3 [mm] x^{2}+2(k [/mm] -4 )x + (4-4k)
2.Ableitung = 6x + 2(k-4)
Ich hoffe die Ableitungen sind richtig und was dann ???

Danke

Bezug

Extremwertaufgabe: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:24 Sa 01.01.2005
Autor:	Loddar

Hallo Eirene!!

$f(x) =  [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] + 4$

>  Achsenschnittpunkte:
>  N (-1/0)  N(2/0)

Was ist mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse??

> Extrema:
> E(0/4) E(2/0)

Welche Arten von Extrema legen denn vor (Maximum / Minimum)?

> wendepunkte:
> W(1/2)

> b) Der Graph f begrenzt mit den Koordinatenachsen im 1. Quadrant
> eine Fläche. Berechne deren Flächeninhalt.
> Also ich hab integriert von 0 bis 2, und dann kam 4 raus.

>  c) Bestimme unter allen achsenparallelen Rechtecken
> innerhalb der
> in Teilaufgabe b) beschriebenen Fläche dasjenige mit dem
> größten Flächeninhalt.

Was suchen wir denn? Den Flächeninhalt eines Rechteckes.
Die Formel hierfür lautet doch:
[mm] $A_{Rechteck}(a, [/mm] b) = a * b$

Und was sind nun unsere Seiten a und b?
Die Seite a || x-Achse entspricht doch unserem gesuchten Wert [mm] $x_0$. [/mm]
Dazu gehört der entsprechende Wert [mm] $y_0 [/mm] = [mm] f(x_0)$. [/mm] Dieser Wert [mm] $y_0$ [/mm] entspricht nun der Seite || y-Achse.

Wir erhalten also eine Funktion für den Flächeninhalt nur in Abhängigkeit von unserer gesuchten Größe [mm] $x_0$: [/mm]
[mm] $A(x_0) [/mm] = [mm] x_0 [/mm] * y_ 0 = [mm] x_0 [/mm] * [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] x_0 [/mm] * [mm] (x_0^3 [/mm] - [mm] 3x_0^2 [/mm] + 4)$.

Für diese Funktion [mm] $A(x_0)$ [/mm] ist nun eine Extremwertberechnung durchzuführen, und es sollte ein Maximum herauskommen ...

> d)  [mm] $f_{k}(x) [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] (k-4)*x^{2} [/mm] + (4-4k) x + 4k$
> Zeige, dass die Funktion f zur Funktionenschar  [mm]f_{k}[/mm]
> gehört und dass bis auf einen alle Funktionsgraphen an der
> Stelle 2 die 1, Achse berühren.

Ich nehme mal an, Du meinst die x-Achse?

> Hier weiß ich nur dass man die Kooffizenten vergleichen muss.

Und - wie lautet das Resultat?

> Und die 1. Ableitung von [mm] $f_{k}'(x) [/mm] = [mm] 3x^{2}+2(k [/mm] - 4 )x + (4-4k)$
> 2. Ableitung [mm] $f_k''(x) [/mm] = 6x + 2(k-4)$
> Ich hoffe die Ableitungen sind richtig ...

> und was dann ???

Du mußt nun folgendes nachweisen, daß gilt:

(1) [mm] $f_k(2) [/mm] = 0$ für alle k
(Alle Funktionsscharen berühren die x-Achse bei x=2, d.h. der Punkt P(2 | 0) liegt auf dem Funktionsgraphen.)

(2) [mm] $f_k'(2) [/mm] = 0$ für alle k
(Alle Funktionsscharen berühren die x-Achse bei x=2, d.h. die Steigung enstpricht genau der Steigung der x-Achse: [mm] $m_{x-Achse} [/mm] = 0$.)

Irgendwie sehe ich aber die erwähnte eine Ausnahme nicht