Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Jennifer |
Also die Aufgabe lautet wie folgt:
Es soll ein Sportplatz aus einem möglichst großen rechteckigen Spielfeld und einer 400m laufbahn angelegt werden. Das zur Verfügung stehende gelände lässt aber höchstens eine Spielfeldbreite von 50 m zu. Wie ist der Sportplatz anzulegen? Welchen Flächeninhalt hat das Spielfeld
Irgendwie erscheint mir die Aufgabe zu leicht. Mein Ansatz lautet wie folgt:
A= a*b u=2a+2b
b=50m
a=150m
A=7500m²
Aber das ist doch wahrscheinlich zu simpel, oder?
LG
Jennifer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
> Also die Aufgabe lautet wie folgt:
> Es soll ein Sportplatz aus einem möglichst großen
> rechteckigen Spielfeld und einer 400m laufbahn angelegt
> werden. Das zur Verfügung stehende gelände lässt aber
> höchstens eine Spielfeldbreite von 50 m zu. Wie ist der
> Sportplatz anzulegen? Welchen Flächeninhalt hat das
> Spielfeld
>
> Irgendwie erscheint mir die Aufgabe zu leicht.
Das erscheint mir auch zu simpel.
Ich würde diese Aufgabe auch etwas anders interpretieren:
Die "klassische Laufbahn" in jedem (Leichtathletik-)Stadion hat die Form (Außenform) eines Rechteckes mit jeweils einem angesetzten Halbkreis je kürzerer Rechteckseite $b$.
Damit ergibt sich für die Nebenbedingung der Umfang zu:
$U \ = \ 2a + 2 * [mm] \bruch{\pi * b}{2} [/mm] \ = \ 2a + [mm] \pi [/mm] * b \ = \ 400 \ m$
Die Hauptbedingung mit $A \ = \ a*b$ hast Du ja bereits selbst aufgestellt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Jennifer |
Danke erstmal für die Antwort. wenn ich diesen Ansatz nehme, ergibt sich ja:
b=63,66m. Und da ja angeben wurde, dass das Spielfeld höchstens 50m breit sein darf, kann dieser Wert nicht korrekt sein.
LG
Jennifer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
> Danke erstmal für die Antwort. wenn ich diesen Ansatz
> nehme, ergibt sich ja:
>
> b=63,66m. Und da ja angeben wurde, dass das Spielfeld
> höchstens 50m breit sein darf, kann dieser Wert nicht
> korrekt sein.
Dieser Wert ist schon korrekt. Denn für diesen Wert $b \ = \ [mm] \bruch{200}{\pi} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 63,66 \ m$ erhält man einen maximalen Flächeninhalt [mm] $A_{max}$ [/mm] für das Spielfeld.
Gemäß Aufgabenstellung ist der Platz aber auf eine Breite von 50m beschränkt.
D.h. also in unserer Aufgabe, daß unsere gesuchte Breite $b_? \ = \ 50 \ m$ beträgt.
Für diesen Wert mußt Du nun die Spielfeldlänge $a_?$ und zugehörigen Flächeninhalt $A_?$ ermitteln.
Klar?
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Jennifer |
Danke, ich glaube ich habes es verstanden :)
demnach ergibt sich folgendes:
A=5000,15m²
b=50m
a=121,46m
LG
Jennifer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
> A=5000,15m²
> b=50m
> a=121,46m
$a$ und $b$ sind OK.
Aber beim Flächeninhalt $A$ hast Du Dich verrechnet.
Du mußt doch rechnen $A \ = \ a * b \ = \ 121,46 * 50 \ = \ ...$
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Jennifer |
oh danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Sa 12.02.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Jennifer,
> Also die Aufgabe lautet wie folgt:
> Es soll ein Sportplatz aus einem möglichst großen
> rechteckigen Spielfeld und einer 400m laufbahn angelegt
> werden. Das zur Verfügung stehende gelände lässt aber
> höchstens eine Spielfeldbreite von 50 m zu. Wie ist der
> Sportplatz anzulegen? Welchen Flächeninhalt hat das
> Spielfeld
>
> Irgendwie erscheint mir die Aufgabe zu leicht. Mein Ansatz
> lautet wie folgt:
>
> A= a*b u=2a+2b
>
> b=50m
> a=150m
>
> A=7500m²
>
> Aber das ist doch wahrscheinlich zu simpel, oder?
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ähnliche Aufgabe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Jennifer |
Danke, aber irgendwie kann ich mir aus den Aufgaben nichts nehmen, da ja immer nur der Lösungsansatz gegeben wird und den habe ja sogar ich. Also
A= a*b [mm] U=2a+\pi*b
[/mm]
a= [mm] \bruch{400-\pi*b}{2}
[/mm]
[mm] A'(b)=200-\pi*b
[/mm]
[mm] 0=200-\pi*b
[/mm]
b=63,66m
Aber die 63,66m sind ja offensichtlich falsch oder ein Teilergebnis. Wäre schön, wenndu mir vielleicht noch einen kleinen Denkanstoß liefern könntest.
LG
Jennifer
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Also ich versteh irgendwie nivht wie man zu der Ableitung [mm] A'(b)=200-\pi\*b [/mm] kommt. DIe Zielfunkton ist A=a*b das sit kalr und dass der Umfang [mm] U=2a+\pi*b [/mm] ist und daraus folg [mm] a=400-\pi*b:2 [/mm] ist auch klar aber wie komm ich denn dann zu der Ableitung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 10.09.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo nixchegga,
die Fläche des Sportplatzes hängt von den zwei Variablen a und b ab. Also [mm] A(a,b)= a \cdot b [/mm]. Diese Fläche wird maximal in Bezug auf eine der Variablen, hier b, wenn man die erste Ableitung dieser Funktion berechnet und sie zu Null setzt. Eine normale Extremwertaufgabe. In diesem Fall wird diejenige Variable, nach der man nicht ableitet, als Konstante behandelt, ist es ein Summand verschwindet er, ist es ein Multiplikand, so wie hier, ist es ein konstanter Vorfaktor und die Ableitung der Variablen b nach b ergibt nunmal den wert 1.
Man erhält also für die beiden partiellen Ableitungen
$$ [mm] \bruch{\rm{d}A(a,b)}{\rm{d}a} [/mm] = b$$ und
$$ [mm] \bruch{\rm{d}A(a,b)}{\rm{d}b} [/mm] = a$$
Mit der letzten Gleichung wurde dann weitergerechnet.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
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Siehe diese Antwort ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Di 15.02.2005 | | Autor: | Jennifer |
Ähm noch eine kleine Frage zum Verständnis. Wie komme ich denn auf die 400m Laufbahn? wenn ich den umfang von den 63,66m und den 121,66m ausrechne komme ich nur auf rund 370m.
LG
Jennifer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Di 15.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennifer!
Wir hatten uns doch "geeinigt" auf:
$b \ = \ 50 \ m$
$a \ = \ 121,46 \ m$
Der Umfang der Laufbahn ist ja nicht das Rechteck alleine, sondern mit den beiden angesetzten Halbkreisen. Damit wird der Umfang der Laufbahn doch zu:
[mm] $U_{Laufbahn} [/mm] \ = \ 2*a + 2 * [mm] \bruch{1}{2}*\pi*b [/mm] \ = \ 2*a + [mm] \pi*b$
[/mm]
(siehe auch oben in der Antwort ...)
Und dann erhalte ich mit den o.g. Werten auch meine 400m ...
Gruß
Loddar
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