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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremwertaufgabe
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Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 So 19.04.2009
Autor: MathePhobie

Aufgabe
Finden Sie drei Zahlen x, y und z, deren Summe 48 ist und deren Produkt maximal ist.Die Bedingung an die Summe der drei Zahlen erlaubt es eine der Zahlen explizit auszudrücken–Einsetzen dieses Ausdrucks in die
zu maximierende Funktion liefert ein Extremalproblem in zwei Variablen.
Es ist direkt zu lösen ohne Lagrange

Das heißt doch
x+y+z=48 wobei ich für z.B. für x einen beliebigen wert nehmen darf
aber wie lautet meine zweite gleichung
x*y*z=max ??

        
Bezug
Extremwertaufgabe: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo MathePhobie!


Deine Hauptbedingung lautet:
$$p(x,y,z) \ = \ x*y*z$$
Dieser Term soll maximiert werden. Setze nun die umgestellte Nebenbedingung $z \ = \ 48-x-y$ ein und bilde die partiellen Ableitungen:
$$p(x,y) \ = \ x*y*(48-x-y) \ = \ [mm] 48*x*y-x^2*y-x*y^2$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 So 19.04.2009
Autor: MathePhobie

Aufgabe
p(x)=48x-2x-x [mm] \Rightarrow [/mm] x= -45
p(y)=48y-y-2y [mm] \Rightarrow [/mm] y= -45 [mm] \Rightarrow [/mm] z= -42

Irgendwie stimmt da was nicht :(

Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe: partielle Ableitungen falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo MathePhobie!


Deine partiellen Ableitungen stimmen nicht. Du musst doch die jeweils "andere Variable" (nach welcher gerade nicht differenziert wird) als konstant ansehen.

[mm] $$p_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 48*y-2*x*y-y^2$$ [/mm]
[mm] $$p_y(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 48*x-x^2-2*x*y$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 So 19.04.2009
Autor: MathePhobie

Ja habe es grade auch bemerkt :)
war zu schnell unterwegs
es kommt raus
x= 24 y=-12 z=36

vielen dank Herr Loddar, Sie waren mir eine große Hilfe!

Bezug
                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: verrechnet
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo MathePhobie!


Da musst Du Dich irgendwo verrechnet haben. Denn Dein Produkt ist nunmehr negativ, und damit wohl kaum maximal.

Ich erhalte als Lösung:  $x \ = \ y \ = \ z \ = \ 16$ .


Gruß
Loddar


PS: Du darfst hier im Forum alle mit "Du" anschreiben.



Bezug
                                                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 So 19.04.2009
Autor: MathePhobie

Aufgabe
fx= [mm] 48y-2xy-y^2 [/mm]
fxx=-2y
fxy=48-2x-2y
[mm] fy=48x-x^2-2xy [/mm]
fyy=-2x
fyx=48-2x-2y

Ich komme nicht auf meinen Fehler! Kannst du mir bitte weiterhelfen?

Bezug
                                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo MathePhobie!


Die partiellen Ableitungen sind richtig. Betrachten wir nun:

[mm] $$p_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 48*y-2*x*y-y^2 [/mm] \ = \ y*(48-2x-y) \ = \ 0$$
[mm] $$p_y(x,y) [/mm] \ = \ [mm] 48*x-x^2-2*x*y [/mm] \ = \ x*(48-x-2y) \ = \ 0$$
Aus der 1. Gleichung folgt (u.a.):
$$y \ = \ 48-2x$$
Setze dies in die 2. (Teil-)Gleichung ein:
$$48-x-2*(48-2x) \ = \ ... \ = \ 0$$
Die weiteren Teillösungen wie z.B. $x \ = \ 0$ , $y \ = \ 0$ habe ich nunmehr außen vor gelassen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 So 19.04.2009
Autor: MathePhobie

Aufgabe
y= 48-2x aus der ersten Gl.
x(48-x-96+4x) [mm] \Rightarrow [/mm] x(-48+3x)=0 durch x dividiert [mm] \Rightarrow [/mm] -48+3x [mm] \Rightarrow [/mm] x=y=z=16

Hoffe es passt jetzt :)

Bezug
                                                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: fast richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo MathePhobie!


> y= 48-2x aus der ersten Gl.
>  x(48-x-96+4x) [mm]\Rightarrow[/mm] x(-48+3x)=0 durch x dividiert

*räusper* Nicht durch $x_$ teilen. Damit verlierst du eine mögliche Lösung.
Das Teilen geht nur für $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .

Also musst Du rein fomrell den Fall $x \ = \ 0$ noch gesondert betrachten.


> [mm]\Rightarrow[/mm] -48+3x [mm]\Rightarrow[/mm] x=y=z=16

[ok]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 19.04.2009
Autor: MathePhobie

Letze Frage: Wie kriege ich dann aus x(48-x-2y) mein x= ... wenn ich nicht durch x dividieren darf, das gleiche Problem habe ich bei einer anderen Fragestellung?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Nullprodukt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo MathePhobie!


> Letze Frage: Wie kriege ich dann aus x(48-x-2y) mein x= ...

Es heißt ja:  $x*(48-x-2y) \ [mm] \red{= \ 0}$ [/mm] .

Wende nun das Prinzip des Nullproduktes an. Demnach ist ein Produkt genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null wird.

Das heißt hier:
$$x \ = \ 0 \ \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ \ 48-x-2y \ = \ 0$$

Gruß
Loddar


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