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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Do 25.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Eine oben offene und quaderförmige Kiste soll einen quadratischen Boden besitzen und einen
Rauminhalt von V = 2 [mm] m^3 [/mm] aufweisen; das Material für die vier Seitenflächen ist doppelt so teuer
wie dasjenige für den Boden.
Wie gross sind die Kantenlänge des Quadrates und die Höhe zu wählen, wenn die totalen
Materialkosten möglichst gering sein sollen? |
Also ich habe mal folgende Funktionen und Gleichungen aufgestellt:
V(x,y) = [mm] 2m^3 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] * y
Oberfläche = Kostenfunktion, da sich ja die Kosten anhand der Oberfläche berechnen:
O(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + 4*(x*y)
Und dann noch das Verhältnis der Kosten:
[mm] 2x^2 [/mm] = 4*(x*y)
Irgendwie komme ich aber jetzt einfach nicht darauf wie ich die Funktionen verknüpfen muss! Ich habe schon verschiedenste Funktionen erhalten aber bei keiner bekam ich einen Extremwert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Do 25.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Eine oben offene und quaderförmige Kiste soll einen
> quadratischen Boden besitzen und einen
> Rauminhalt von V = 2 [mm]m^3[/mm] aufweisen; das Material für
> die vier Seitenflächen ist doppelt so teuer
> wie dasjenige für den Boden.
> Wie gross sind die Kantenlänge des Quadrates und die Höhe
> zu wählen, wenn die totalen
> Materialkosten möglichst gering sein sollen?
> Also ich habe mal folgende Funktionen und Gleichungen
> aufgestellt:
>
> V(x,y) = [mm]2m^3[/mm] = [mm]x^2[/mm] * y
Das ist okay.
>
> Oberfläche = Kostenfunktion, da sich ja die Kosten anhand
> der Oberfläche berechnen:
>
> O(x,y) = [mm]x^2[/mm] + 4*(x*y)
Die Oberfläche berechnet sich so, das ist korrekt.
Hier würde ich aber gleich aus der Oberflächenfunktion die Kostenfunktion machen. Die Grundfläche (x²) kostet ja im Verhältnis nur ein Viertel der Seitenfläche, also sind die Seitenflächen um den Faktor 4 teurer, also wäre die Kostenfunktion:
[mm] K(x,y)=x^{2}+4*(4(xy))
[/mm]
Mit V=x²*y [mm] \gdw y=\bruch{V}{x²} [/mm] ergibt sich:
[mm] K(x)=x^{2}+16x*\bruch{V}{x²}=x²+\bruch{16V}{x}=x^{2}+16V*x^{-1}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Do 25.06.2009 | | Autor: | qsxqsx |
..hi...
Ich glaube es ist 2 * 4(x*y ) anstelle von 4*4*x*y, nicht?
gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Do 25.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> ..hi...
>
> Ich glaube es ist 2 * 4(x*y ) anstelle von 4*4*x*y, nicht?
>
> gruss
Hallo
Du hast Recht, das Material ist "nur " doppelt so teuer, daher stimmt deine Formel.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 25.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok vielen Dank, somit binn ich auf x = 2, als lokales minimum gekommen. Die Länge muss also x = 2 sein
y bekommt man durch: y = [mm] 2/x^2 [/mm] = [mm] 2/2^2 [/mm] = 0.5
x = 2
y = 0.5
Richtig?
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Hallo, wenn du x=2km meinst, dann nicht, aber du meinst sicherlich x=2m und y=0,5m, korrekt, gebe immer die Einheiten mit an, Steffi
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