Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Eine Pappfabrik stellt aus rechteckigen Pappestücken mit den Seitenlängen a und b oben offene quaderförmige Pappkästen her. Dazu wird an jeder Ecke ein Quadrat ausgeschnitten. Wie müssen die Maße gewählt werden, damit der Kasten einen maximalen Rauminhalt erhält? |
Also, ich habe mir dazu mal zwei Skizzen gemacht und die Kantenlänge des ausgeschnittenen Quadrats mit x benannt. Nun habe ich die Hauptbedingung
V=a*b*x
und die Nebenbedingung
O= (a-2x)*(b-2x)
ist das so richtig oder habe ich eine Einschränkung übersehen?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Eine Pappfabrik stellt aus rechteckigen Pappestücken mit
> den Seitenlängen a und b oben offene quaderförmige
> Pappkästen her. Dazu wird an jeder Ecke ein Quadrat
> ausgeschnitten. Wie müssen die Maße gewählt werden,
> damit der Kasten einen maximalen Rauminhalt erhält?
> Also, ich habe mir dazu mal zwei Skizzen gemacht und die
> Kantenlänge des ausgeschnittenen Quadrats mit x benannt.
> Nun habe ich die Hauptbedingung
> V=a*b*x ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> und die Nebenbedingung
> O= (a-2x)*(b-2x) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> ist das so richtig oder habe ich eine Einschränkung
> übersehen?
Mit a und b sind nicht Länge und Breite der
Schachteln gemeint, sondern Länge und
Breite der ursprünglichen Papperechtecke,
aus denen dann erst die Schachteln gefaltet
werden sollen.
Die Formel für das Volumen muss also
anders aussehen.
Was du als "Nebenbedingung" notiert hast,
ist ein Element zur Aufstellung der Volumen-
formel.
LG
|
|
|
| |
|
Mh, dann steht ich jetzt aufm Schlauch. Was fehlt denn dann noch an der leitet die Hauptbedingung dann V=(a-2x)*(b-2x)*x ???
Nur was ist dann die Nebenbedingung? Sehr kompliziert das ganze^^
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mo 02.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Mh, dann steht ich jetzt aufm Schlauch. Was fehlt denn dann
> noch an der leitet die Hauptbedingung dann
> V=(a-2x)*(b-2x)*x ???
So ist es.
> Nur was ist dann die Nebenbedingung?
Da a und b schon gegeben sind, hast du schon die Zielfunktion V(x) bestimmt.
[mm] V(x)=\underbrace{(a-2x)}_{\text{Seitenlänge}}*\underbrace{(b-2x)}_{\text{Seitenlänge}}*\underbrace{x}_{\text{Höhe}}
[/mm]
> Sehr kompliziert das ganze^^
> lg
>
Marius
|
|
|
| |
|
> Mh, dann steht ich jetzt aufm Schlauch. Was fehlt denn dann
> noch an der leitet die Hauptbedingung dann
> V=(a-2x)*(b-2x)*x ???
> Nur was ist dann die Nebenbedingung? Sehr kompliziert das
> ganze^^
> lg
>
Eine weitere "Nebenbedingung" brauchst du gar nicht.
Denke aber an die "Randbedingungen": in welchem
Bereich darf das gesuchte x überhaupt liegen ?
LG Al-Ch.
|
|
|
| |
|
So, als 1. Ableitung habe ich V'(x)= [mm] 12x^2-4ax-4bx+ab
[/mm]
Wenn ich dass dann gleich null setzte bekomm ich da so was komisches raus, ich glaub das ist falsch: erst [mm] x^2+ [/mm] 1/3 ax + 1/3 bx + ab/12
dann p-q formel: 1/6 ax+ 1/6 bx [mm] \pm \wurzel{3} [/mm] 1/36 [mm] a^2x^2 [/mm] + 1/36 [mm] b^2x^2 [/mm] - ab/12
und das ist glaub ich falsch, bzw ich wüsste jetzt auch nicht, wie ich das weiter vereinfach sollte
lg
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] V'(x)=12*x^{2}-4a*x-4b*x+ab [/mm] hast du richtig
jetzt geht aber einiges schief, Vorzeichen und p-q-Formel
[mm] 0=12*x^{2}-4a*x-4b*x+ab
[/mm]
[mm] 0=x^{2}-\bruch{1}{3}a*x-\bruch{1}{3}b*x+\bruch{1}{12}ab
[/mm]
[mm] 0=x^{2}+(-\bruch{1}{3}a-\bruch{1}{3}b)x+\bruch{1}{12}ab
[/mm]
[mm] 0=x^{2}+(\bruch{-a-b}{3})x+\bruch{1}{12}ab
[/mm]
mit [mm] p=\bruch{-a-b}{3} [/mm] und [mm] q=\bruch{1}{12}ab
[/mm]
jetzt schaue dir noch einmal genau die p-q-Formel an
Steffi
|
|
|
| |
|
Ah ja, alles klar. die p-q Formel lautet dann
1/6 ab [mm] \pm \wurzel{3} (a^2b^2)/36 [/mm] - 1/12 ab
aus dem [mm] p^2 [/mm] kann man ja die wurzel ziehen, nur bleibt dann ja ein negativer term unter der wurzel stehen...
|
|
|
| |
|
Hallo, jetzt hast du aber die Mathematik mit Vollgas an die Wand gefahren
- p ist eine Summe, du hast plötzlich ein Produkt
- es ist [mm] -\bruch{p}{2} [/mm] zu berechnen
- du kannst die Wurzel aus einer Summe nicht summandenweise ziehen (in der Regel)
also 2. Versuch ohne die ganannten Fehler, schaue dir dazu die Binomischen Formeln an,
Steffi
|
|
|
| |
|
mh das macht dann also (a+b)/6 [mm] \pm \wurzel{3}(a^2+b^2)/36- [/mm] (ab/12)
nur was helfen mir da die binomischen formeln?
lg
|
|
|
| |
|
ah, die drei sollte da nicht hinter die wurzel, ich weis auch nicht wo die herkommt...
|
|
|
| |
|
Hallo, der 1. Summand deiner Diskriminante ist
[mm] \bruch{(a+b)^{2}}{36}
[/mm]
für [mm] (a+b)^{2} [/mm] benötigst du die Binomische Formel
Steffi
|
|
|
| |
|
Also für p habe ich nun (-a-b)/3 und für q ab/12
Somit ergibt sich doch die p-q-Formel: (a+b)/6 [mm] \pm \wurzel{((a+b)/6)^2 -(ab)/12} [/mm]
Nur wie vereinfache ich diese weiter?
lg
|
|
|
| |
|
Warum willst Du denn weiter vereinfachen? Sieht doch gut aus...
Allerdings hast Du jetzt noch zwei Lösungen. Du solltest mal beide Lösungen interpretieren und Dich fragen, ob beide Lösungen Sinn machen bzw. den maximalen Rauminhalt darstellen...
|
|
|
| |
|
So, dann habe ich also als Nullstelle der 1. Ableitung (a+b)/6 [mm] \pm \wurzel{ ((-a-b)/6)^2 - ab/12}
[/mm]
Die 2. Ableitung lautet ja dann V''(x) = 24x-4a-4b
Die Lösung von vorher eingesetzt ergibt für die + Wurzel ein positives Ergebnis, für die - Wurzel ein negatives, da durch a und b > 0 keine Negative Diskriminante möglich ist. Da nach einem Maximum gefragt ist, muss die das ergebnis also >0 sein, ( mal ne blöde Frage, darf man aus (24a+24b)/6 4a+4b machen, weil aus Summen kürzen doch nur die Dummen^^)
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mi 04.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du machst, da du das ganze nicht sehr sauber trennst, ein paar kleinere Fehler.
Du hast:
$ [mm] V(x)=\underbrace{(a-2x)}_{\text{Seitenlänge}}\cdot{}\underbrace{(b-2x)}_{\text{Seitenlänge}}\cdot{}\underbrace{x}_{\text{Höhe}} [/mm] $
[mm] =(ax-2x^{2})(b-2x)
[/mm]
[mm] =abx-2ax^{2}-2bx^{2}+4x^{3}
[/mm]
[mm] =4x^{3}+(-2a-2b)x^{2}+abx
[/mm]
Also
[mm] V'(x)=12x^{2}+2*(-2a-2b)x+ab
[/mm]
[mm] =12x^{2}+4*(-a-b)x+ab
[/mm]
[mm] V''(x)=24x^{}+4(-a-b)
[/mm]
Zur Berechnung der Extrema:
[mm] 12x^{2}+4*(-a-b)x+ab=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+\bruch{-a-b}{3}+\bruch{ab}{12}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=\bruch{a+b}{6}\pm\wurzel{\bruch{-(a+b)^{2}}{36}-\bruch{ab}{12}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a+b}{6}\pm\wurzel{\bruch{-(a^{2}+2ab+b^{2})-3ab}{36}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a+b}{6}\pm\wurzel{\bruch{-a^{2}-2ab-b^{2}-3ab}{36}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a+b}{6}\pm\wurzel{\bruch{-a^{2}-5ab-b^{2}}{36}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a+b}{6}\pm\wurzel{\bruch{-(a^{2}+5ab+b^{2})}{36}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a+b\pm\wurzel{-(a^{2}+5ab+b^{2})}}{6}
[/mm]
Also:
[mm] V''\left(\bruch{a+b\red{-}\wurzel{-(a^{2}+5ab+b^{2})}}{6}\right)
[/mm]
[mm] =24*\left(\bruch{a+b\red{-}\wurzel{-(a^{2}+5ab+b^{2})}}{6}\right)+4(-a-b)
[/mm]
[mm] =4\left(a+b\red{-}\wurzel{-(a^{2}+5ab+b^{2})}\right)+4(-a-b)
[/mm]
[mm] =4a+4b\red{-}4\wurzel{-(a^{2}+5ab+b^{2})})-4a-4b
[/mm]
[mm] =\red{-}4\wurzel{-(a^{2}+5ab+b^{2})})
[/mm]
[mm] \green{<0}
[/mm]
Also ist für die "negative Wurzel" V''(x)<0, also ist das die x-Koordinate eines Hochpunktes.
Genauso zeigst du, dass die "positive" Wurzel den Materialverbrauch minimiert, da sollte dann aber gelten: [mm] V''\left(\bruch{a+b\red{+}\wurzel{-(a^{2}+5ab+b^{2})}}{6}\right)>0
[/mm]
Und diesen Minimalverbrauch kannst du mit [mm] V\left(\bruch{a+b\red{+}\wurzel{-(a^{2}+5ab+b^{2})}}{6}\right) [/mm] bestimmen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Marius, dir ist ein "minus" reigerutscht, Diskriminante/ 1. Summand/ Zähler lautet nur [mm] (a+b)^{2} [/mm] somit ist [mm] x_1_2=\bruch{a+b\pm\wurzel{a^{2}+b^{2}-ab}}{6}, [/mm] Steffi
|
|
|
|
