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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:45 Sa 30.04.2011 | | Autor: | SamGreen |
| Aufgabe | Meine Frage:
Einem Kreissektor ist das flächengrößte Rechteck eingeschrieben, von dem eine Seite auf einem der Begrenzungsradien des Sektors liegt.
Gegeben ist der Kreisradius r und der Winkel des Kreissektors Alpha
habe Probleme mit dem Ansatz.
Kann es mir zwar vorstellen und skizzieren aber finde keinen Lösungsweg. |
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> Meine Frage:
> Einem Kreissektor ist das flächengrößte Rechteck
> eingeschrieben, von dem eine Seite auf einem der
> Begrenzungsradien des Sektors liegt.
> Gegeben ist der Kreisradius r und der Winkel des
> Kreissektors Alpha
> habe Probleme mit dem Ansatz.
> Kann es mir zwar vorstellen und skizzieren aber finde
> keinen Lösungsweg.
Hallo SamGreen,
ich würde dir vorschlagen, zuerst ein Koordinaten-
system einzuführen, dessen x-Achse in die Richtung
des einen begrenzenden Radius zeigt.
Ich nehme einmal an, dass mit [mm] \alpha [/mm] ein spitzer
Winkel gemeint war; dann soll der zweite begrenzende
Radius im ersten Quadranten liegen. Bezeichnen wir
den Eckpunkt des Rechtecks, der auf dem Kreisbogen
liegt, mit $P$ und die anderen mit $Q$ (auf dem 2. Radius),
$R$ und $S$ (auf der x-Achse).
Nun kannst du wählen, ob du mit cartesischen oder
mit Polarkoordinaten rechnen willst. Setze also
entweder $\ [mm] P=(\,x\,,\,y\,)$ [/mm] oder $\ [mm] P=(\,r*cos\,\varphi\,,\,r*sin\,\varphi\,)$ [/mm] .
Drücke dann zunächst einmal die Koordinaten der
übrigen Eckpunkte mittels $x$ oder mittels [mm] \varphi [/mm] und
natürlich [mm] \alpha [/mm] aus. Du kommst damit auf eine Zielfunktion
$A(x)$ oder [mm] A(\varphi) [/mm] .
LG Al-Chw.
Um die Lehrperson etwas zu überraschen, könntest du
(insbesondere wenn zu der Aufgabe keine Figur gegeben
war) z.B. anstatt eines spitzen Winkels [mm] \alpha [/mm] einen stumpfen
Winkel nehmen. Die Aufgabe wird dann nämlich einfacher ... 
Als Musterschüler, der du ja zweifellos bist, solltest
du aber beide Fälle durchrechnen !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Sa 30.04.2011 | | Autor: | SamGreen |
Danke für deine Tipps.
Ich konnte es aber bisweilen schon alleine lösen.
Hatte eine Idee - und habe es einfach als klassische Extremwert berechnet. Mit einer Hauptbedingung und zwei Nebenbedingungen.
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> Danke für deine Tipps.
> Ich konnte es aber bisweilen schon alleine lösen.
>
> Hatte eine Idee - und habe es einfach als klassische
> Extremwert berechnet. Mit einer Hauptbedingung und zwei
> Nebenbedingungen.
Sehr gut.
Hast du beide Lösungswege versucht ? Ich möchte dir
insbesondere auch den mit Polarkoordinaten empfehlen.
Er ist einfacher, und es gibt eine schöne Überraschung !
Wenn man die Lösung mit rechtwinkligen Koordinaten
genau betrachtet und nicht zu früh den Taschenrechner
einsetzt, kann man nämlich erkennen, dass die Lösung
mit Zirkel und Lineal konstruierbar sein muss. Das
Ergebnis ist schlagend einfach, und man kann sich
dann fragen, warum dieses interessante Phänomen
auftritt ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Sa 30.04.2011 | | Autor: | weduwe |
ja die lösung ist wirklich überraschend (einfach) und sehr hübsch 
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Das Überraschende an der Aufgabe (das einem wahr-
scheinlich bei der Lösung in rechtwinkligen Koordinaten
entgeht) ist ja, dass der auf dem Kreisbogen liegende
Eckpunkt des Rechtecks maximalen Inhalts diesen
Bogen halbiert. Warum ist das so ?
Den meisten ist ja wohl die analoge Aufgabe bekannt,
bei der man einem Dreieck ABC (mit spitzen Winkeln
[mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta) [/mm] ein Rechteck maximaler Fläche einbeschrieben
werden soll, dessen Grundlinie [mm] \overline{RS} [/mm] auf der Seite [mm] \overline{AB} [/mm]
liegt. Dabei halbieren die oberen Eckpunkte P und Q
die Seiten [mm] \overline{BC} [/mm] bzw. [mm] \overline{CA} [/mm] .
Irgendwie rätselhaft ist nun, dass bei der analogen
Aufgabe im (spitzwinkligen) Sektor gerade der Bogen
halbiert werden soll (allerdings aber nicht etwa auch
der obere Begrenzungsradius !) .
Seien a und b die beiden von O ausgehenden begren-
zenden Strahlen des Sektors und t die Tangente im
Punkt P an den Kreisbogen, ferner [mm] T=t\cap{a} [/mm] und [mm] U=t\cap{b} [/mm] .
Das Rechteck RSPQ, das dem Kreissektor einbe-
schrieben ist, ist auch für das Dreieck OTU ein ein-
beschriebenes Rechteck.
Nun kann man sich klar machen: Soll RSPQ als ein
dem Sektor einbeschriebenes Rechteck maximalen
Flächeninhalt haben, so muss es dies auch als dem
Dreieck OTU einbeschriebenes Rechteck. Der Grund
dazu ist der, dass die Tangente t in der Umgebung
von P die beste geradlinige Approximation an den
Kreisbogen darstellt (gleiche Steigung in P).
Läge P also etwa unterhalb des Mittelpunktes von
[mm] \overline{TU}, [/mm] so würde die Rechtecksfläche bei einer
kleinen Verschiebung von P nach oben (ob längs [mm] \overline{TU} [/mm]
oder dem Bogen entlang ist einerlei) noch etwas
wachsen. Analog: P oberhalb des Mittelpunktes [mm] \overline{TU}
[/mm]
--> P nach unten schieben, und die Fläche nimmt zu.
Für maximalen Flächeninhalt muss also P der Mittel-
punkt der Strecke [mm] \overline{TU} [/mm] sein. Wie man sich nun leicht
klar machen kann, ist dies nur dann der Fall, wenn
P auch den Bogen des Sektors halbiert.
LG Al-Chw.
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![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
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Anhang Nr. 1 (Typ: html) [nicht öffentlich]
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