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Extremwertaufgabe: Säule in Pyramide
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Di 30.08.2005
Autor: TinaHansen

Hi, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:


Einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist eine quadratische Säule mit maximalem Volumen einzubeschreiben.


Kann mir jemand helfen? Muss ich für die Nebenbedingung einen Strahlensatz anwenden? Vielen Dank im voraus, lg

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.emath.d

        
Bezug
Extremwertaufgabe: Strahlensatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Di 30.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Tina,

[willkommenmr] !!


> Kann mir jemand helfen?

Na, schauen wir mal :-) ...


> Muss ich für die Nebenbedingung einen Strahlensatz anwenden?

[ok] Ganz genau!


Und zwar machen wir aus diesem räumlichen Problem eine ebenes Problem, indem wir die Pyramide exakt in der Mitte durch die Spitze durchschneiden.

Dann haben wir ja ein gleichschenkliges mit einem eingeschriebenen Rechteck.

Nennen wir mal die Höhe der Pyramide $H_$ und die Länge der Grundseite $a_$ .

Die gesuchten Abmessungen des Quaders nenne ich mal $x_$ für die Breite sowie $y_$ für die Höhe.

Dann gilt mit dem Strahlensatz:   [mm] $\bruch{x}{a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{H-y}{H}$ [/mm]


Schaffst Du den Rest nun alleine?


Gruß
Loddar


Bezug
                
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Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Di 30.08.2005
Autor: TinaHansen

vielen dank! ich habe allerdings doch noch ein paar fragen:

die extremalbedingung lautet doch   [mm] x_{2} [/mm] . H oder?

und die Nebenbedinung dann nach H auflösen und in die extremalbedingung einsetzen?


lg

Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Volumen Quader
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Di 30.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Tina!


> die extremalbedingung lautet doch   [mm]x_{2}[/mm] . H oder?

[notok] Das Volumen eines Quaders wird berechnet mit:   [mm] $V_{Quader} [/mm] \ = \ a*b*c$

Für unsere Aufgabe (und meine o.g. Bezeichnungen) heißt das:

[mm] $V_{Quader} [/mm] \ = \ V(x,y) \ = \ [mm] x^2*y$ [/mm]

(Oder meintest Du das?)

  

> und die Nebenbedinung dann nach H auflösen und in die
> extremalbedingung einsetzen?

[ok] Ganz genau ...


Gruß
Loddar


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Extremwertaufgabe: entschuldigung;)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Di 30.08.2005
Autor: TinaHansen

ja, genau das meinte ich, ich komme mit den formeln hier noch nicht so klar...


also die Nb nach y aufgelöst: y= r: a * H -H ??
und das dann in die ZF? und diese dann ableiten?


(tut mir leid, wir haben das thema heute erst begonne, eine aufgabe als beispiel gerechnet und deshalb fällt es mir jetzt etwas schwer.)

Bezug
                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: kleine Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Di 30.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Tina!


> also die Nb nach y aufgelöst: y= r: a * H -H ??

[notok] Vorzeichen verdreht. Ich habe erhalten:

$y \ = \ [mm] H*\left(1-\bruch{x}{a}\right) [/mm] \ = \ [mm] H-\bruch{H}{a}*x$ [/mm]


>  und das dann in die ZF? und diese dann ableiten?

[ok] Ganz genauso geht's ...


> (tut mir leid, wir haben das thema heute erst begonne, eine
> aufgabe als beispiel gerechnet und deshalb fällt es mir
> jetzt etwas schwer.)

Muss Dir nicht leid tun. Dafür sind wir hier ja da ...


Gruß
Loddar


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Bezug
Extremwertaufgabe: Produktregel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Di 30.08.2005
Autor: TinaHansen

okay, also lautet die ZF : V= [mm] x^2 [/mm] * ( H- H:a * x)


ableiten mit Produktregel oder? wie leite ich enn den term ( H- H:a * x)
ab? soll H einfach als eine Zahl gesehen werden?

Bezug
                                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: a,H konstant
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Di 30.08.2005
Autor: MathePower

Hallo TinaHansen,

[willkommenmr]

> okay, also lautet die ZF : V= [mm]x^2[/mm] * ( H- H:a * x)
>  
>
> ableiten mit Produktregel oder? wie leite ich enn den term
> ( H- H:a * x)
>  ab? soll H einfach als eine Zahl gesehen werden?

Ja, H und a sind Konstanten.

Gruß
MathePower

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Bezug
Extremwertaufgabe: Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 Di 30.08.2005
Autor: TinaHansen

also lautet die Ableitung :

V´(x) = 2x( H- H/a *x) + [mm] x^2 [/mm] ???

wenn ja, dann setze ich dass =0 also:

0= 2x (H- H/a * x ) + [mm] x^2 [/mm]

wie löse ich das nach x auf?

Bezug
                                                                        
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Extremwertaufgabe: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Di 30.08.2005
Autor: Loddar

Hallo Tina!


> also lautet die Ableitung :
>  
> V´(x) = 2x( H- H/a *x) + [mm]x^2[/mm] ???

[notok] Hier hast Du ganz am Ende noch die Ableitung der Klammer vergessen ...

Vielleicht ist es aber besser, wenn Du die Funktionsvorschrift vor dem Ableiten ausmultipliziert hättest:

$V(x) \ = \ [mm] x^2*\left(H-\bruch{H}{a}*x\right) [/mm] \ = \ [mm] H*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{H}{a}*x^3$ [/mm]

Dann sollte die Ableitung doch leichter fallen, oder?


Gruß
Loddar


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Extremwertaufgabe: daaanke
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Di 30.08.2005
Autor: TinaHansen

okay, also V´= 2*H*x - 3H : a [mm] *x^2 [/mm]


und dann 0= - 3*H : a * [mm] x^2 [/mm] + 2*H*x

-> 0 = x( - 3*H : a + 2*H)

x1 = 0

oder 0= -3*H : a * x+ 2*H

       2H = - 3*H : a * x                 l : (- 3*H : a )

     2*H*a : (-3H) = x


ist das richtig??

Bezug
                                                                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Kleine Schusseligkeiten!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Di 30.08.2005
Autor: Loddar

Hello again ;-) ...


> okay, also V´= 2*H*x - 3H : a [mm]*x^2[/mm]
>
> und dann 0= - 3*H : a * [mm]x^2[/mm] + 2*H*x

[ok]

  

> -> 0 = x( - 3*H : a*x + 2*H)

Siehe Korrektur!

  

> x1 = 0
>  
> oder 0= -3*H : a * x+ 2*H

[ok] Völlig richtig!


  

> -2H = - 3*H : a * x                 l : (- 3*H : a )

Siehe Korrektur!


> 2*H*a : (-3H) = x

Hier auch Vorzeichen noch ändern und kürzen ...


Nun den ermittelten Wert für [mm] $x_e$ [/mm] in die 2. Ableitung einsetzen und kontrollieren, ob gilt: [mm] $V''(x_e) [/mm] \ < \ 0$ für ein relatives Maximum (hinreichendes Kriterium).


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                
Bezug
Extremwertaufgabe: zweite abl.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Di 30.08.2005
Autor: TinaHansen

dann kommt bei der überprüfung raus:


v'' = 2x - 6H : a * x

einsetzen:

4/3 a - 12Ha : 3a = 4/3 a - 4 H  -> ist das kleiner Null?


und dann noch denn errechneten x-wert in die EB einsetzen, sodass ich das max. Volumen erhalte oder?


V = (2/3 [mm] a)^2 [/mm] * H - H: a * (2/3 [mm] a)^3 [/mm]

  =  4/9 [mm] a^2 [/mm] * H - H : a * 8/27 [mm] a^3 [/mm]

  =  [mm] a^2 [/mm] H * (4/9 - 8/27 a)


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Nicht ganz ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mi 31.08.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Tina!


> v'' = 2x - 6H : a * x

[notok] Nicht ganz:  $V''(x) \ = \ [mm] 2*\red{H} [/mm] - [mm] \bruch{6H}{a}*x$ [/mm]


Damit kommt beim Einsetzen auch ein eindeutig negativer Wert heraus, da ja $H_$ positiv ist!


> und dann noch denn errechneten x-wert in die EB einsetzen,
> sodass ich das max. Volumen erhalte oder?

[ok] Richtig!



> V = (2/3 [mm]a)^2[/mm] * H - H: a * (2/3 [mm]a)^3[/mm]
>  
> =  4/9 [mm]a^2[/mm] * H - H : a * 8/27 [mm]a^3[/mm]
>
> =  [mm]a^2[/mm] H * (4/9 - 8/27 a)

Hier hast Du falsch gekürzt (die a's in der beim hinteren Term).

Ich erhalte letztendlich:  [mm] $V_{max} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{27}*a^2*H$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Extremwertaufgabe: daaaaanke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Mi 31.08.2005
Autor: TinaHansen

okay, jetzt hab ich das auch als endergebnis raus. bei der überprüfung mit v'' erhalte ich jeztt -2H, also eindeutig maximum;). vielen dank!!!!!

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