Extremwertaufgabe - Ellipse < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | | Finden Sie denjenigen Punkt auf einer Ellipse gegeben durch die implizite Gleichung [mm] x^2/4 [/mm] + [mm] y^2=1, [/mm] welche den geringsten Abstand zu dem Punkt [mm] x_0 [/mm] = 1, [mm] y_0=4 [/mm] außerhalb der Ellipse hat. |
Hallo,
komme bei dieser Aufgabe leider auf keinen Lösungsansatz, wo steckt meine Nebenbedingung? Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Viele Grüße,
Commotus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mi 04.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Commotus
> Finden Sie denjenigen Punkt auf einer Ellipse gegeben durch
> die implizite Gleichung [mm]x^2/4[/mm] + [mm]y^2=1,[/mm] welche den
> geringsten Abstand zu dem Punkt [mm]x_0[/mm] = 1, [mm]y_0=4[/mm] außerhalb
> der Ellipse hat.
> Hallo,
>
> komme bei dieser Aufgabe leider auf keinen Lösungsansatz,
> wo steckt meine Nebenbedingung? Wäre nett, wenn mir jemand
> weiterhelfen könnte!
Die Nebenbedingung ist ja die Ellipsengleichung. Jetzt musst du nur noch
den Abstand des Punktes $P(x,y)$ vom Punkt $Q(1,4)$ berechnen. Denn der Abstand soll ja minimal werden.
Damit keine Wurzeln auftreten, kann man auch den Abstand im Quadrat minimieren (ein kleiner Trick der immer gut ist).
Also Abstand im Quadrat = [mm] $(x-1)^2+(y-4)^2$, [/mm]
Nebenbedingung [mm]x^2/4[/mm] + [mm]y^2=1,[/mm]
Alles klar?
mfG Moudi
>
> Viele Grüße,
> Commotus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Also ist beispielsweise [mm] y=\wurzel(1-\bruch{x^2}{4}) [/mm] und setze ich dann in die Abstandsformel ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mi 04.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Commotus
Ja genau so wird es gemacht.
Ausser du kennst die Methode mit den Lagrangemultiplikatoren.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Diese Methode wurde in der Vorlesung kurz angesprochen, jedoch ohne ein konkretes Beispiel zu liefern.
Wie würde ich diese Aufgabe denn auf diese Art und Weise lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mi 04.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Commotus
Du bildest die zu maximierende Funktion $f(x,y)$ und formst die Nebenbedingung so um, dass sie die Form $g(x,y)=0$ hat.
Dann bildest du die "sogenannte" Lagrangesche Prinzipalfunktion
[mm] $L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda [/mm] g(x,y)$ [mm] ($\lambda$ [/mm] ist der Lagrangemultiplikator)
Dann musst du das Gleichungssystem
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}L(x,y,\lambda)=0$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial}{\partial y}L(x,y,\lambda)=0$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial}{\partial \lambda}L(x,y,\lambda)=0$
[/mm]
lösen, wobei die dritte Gleichung einfach wieder die Nebenbedingung $g(x,y)=0$ ergibt. Die Lösungen für x und y ergeben die Orte der Möglichen Extrema.
Hier ergibt sich also (mit Nebenbedingun [mm] $\frac{x^2}{4}+y^2-1=0$) [/mm] die
Prinzipalfunktion
[mm] $L(x,y,\lambda)=(x-1)^2+(y-4)^2+\lambda(\frac{x^2}{4}+y^2-1)$
[/mm]
Alles klar
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Ich komme schlussendlich zu folgendem Gleichungssystem:
2x - 2 + [mm] \lambda [/mm] * 1/2x = 0
2y - 8 [mm] +2\lambda*y=0
[/mm]
[mm] \bruch{x^2}{4}+y^2-1=0
[/mm]
Wie löse ich dieses am geschicktesten? Ich komme irgendwann zu einer Gleichung vierten Grades, die ich nicht lösen kann. Wie gehe ich am besten vor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Do 05.01.2006 | | Autor: | Christian |
Hallo.
Eine Anmerkung:
Wie man hier gut sieht, ist es bei kleinen Systemen oft günstiger, so wie Commotus ursprünglich wollte, die Nebenbedingung direkt einzusetzen.
Bei größeren Systemen schlägt dies jedoch schnell um.
Gruß,
Christian
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Hallo.
Ich würd das jetzt mal als richtig erachten.
Beachte dazu auch obige Mitteilung.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Do 05.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Commotus
Auch bei mir ist schlussendlich eine Gleichung 4. Grades herausgekommen,
das lässt sich mit keiner Methode vermeiden. Die löst du am besten numerisch.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Do 05.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Guten Morgen,
"numerisch" lösen? Wie geht das? Habe noch nie von dieser "Methode" gehört. Was muss man machen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Do 05.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Es verwundert mich, dass solche Verfahren in der Vorlesung nie besprochen wurden und man sie mit einem Mal anwenden können soll.
Eine andere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, existiert nicht?!
Eine Frage vorab: Kommen bei dieser Aufgabe ganze bzw. einfache Zahlenwerte als Lösung raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Es verwundert mich, dass solche Verfahren in der Vorlesung
> nie besprochen wurden und man sie mit einem Mal anwenden
> können soll.
Das kommt leider ab und zu mal vor.
So nebenbei: Ihr hattet doch sicher mal den Zwischenwertsatz inkl. Beweis. Der Beweis laeuft ja normalerweise dadurch ab, dass man eine Folge von Intervallen konstruiert, die sich zu einem Punkt zusammenziehen -- welcher notwendigerweise eine Nullstelle sein muss (Intervallschachtelung). Dieses Verfahren laesst sich sehr einfach numerisch umsetzen: Man waehlt zwei Startwerte $a$ und $b$ und rechnet $f(a)$, $f(b)$ aus. Haben diese das gleiche Vorzeichen, so waehlt man andere Werte. Andernfalls berechnet man [mm] $f(\frac{a + b}{2})$ [/mm] und vergleicht das Vorzeichen mit den beiden anderen und ersetzt entweder $a$ oder $b$ durch [mm] $\frac{a + b}{2}$. [/mm] etc.
Insofern habt ihr schon ein numerisches Verfahren kennengelernt 
> Eine andere Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen, existiert
> nicht?!
Nicht das ich wuesste.
> Eine Frage vorab: Kommen bei dieser Aufgabe ganze bzw.
> einfache Zahlenwerte als Lösung raus?
Nein. Ich habe $x [mm] \approx [/mm] 0.5582267846$ und $y [mm] \approx [/mm] 0.9602581498$ herausbekommen.
LG Felix
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Regula falsi