Extremwertaufgabe Berechnung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Di 13.09.2005 | | Autor: | knoetel |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
hallo leute!
ich habe grad im mathe lk stufe 12 angefangen und stehe jetzt grad vor einem problem, wo ich GAR NICHT weiterkomme .. und zwar ist die aufgabestellung:
" gegebn ist ein gleichschenkliges dreieck mit der hypothenuse c = 60 cm und den katheten a = b = 50 cm ; Aus diesem Dreieck soll ein stück Holz ( rechteckig ) mit maximal flächer herausgeschnitten werden ; Berechne den Prozenanteil der Holzes, das als Abfall bleibt "
so.. bin bisher soweit, dass ich mir mal die überlegungen gemacht habe, dass es ja was mit flächen zu tun haben muss .. also Adreieck = 1200cm² und d*e= Arechteck .. so nun habe ich jetzt einen hänger .. ich komm gar nicht weiter und kann mir keine formel denken die mir jetzt zur berechnung weiterhelfen könnte .. bräuchte ja erstmal die fläche des rechtecks, aber wie??
danke für die hilfe MfG
philip
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Hast Du schon versucht, aus dem Strahlensatz die Nebenbedingung herzuleiten, um eine Seite des Rechtecks durch die andere auszudrücken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Di 13.09.2005 | | Autor: | knoetel |
hi! danke für deine antwort , nur ist das problem, dass wir im unterricht nocht nichts von einem strahlensatz gehört haben und zu erarbeiten war das auch nicht .. unser lehrer ist da so .. d.h. wir "müssten" es mit eigenen mitteln können .. also hab ich leider keine ahnung .. ich such die ganze zeit schon was es für ne verbindung zwischen rechteckseite und dreiecksseiten geben könnte aber finde nix
PS: soweit ich jetzt hab ( glaub aber das is nich wirklich richtig ) müsste das dreieck ein quadrat sein um die maximale fläche zu haben ..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 13.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
schön, daß du hierher gefunden hast.
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt)
> hallo leute!
> ich habe grad im mathe lk stufe 12 angefangen und stehe
> jetzt grad vor einem problem, wo ich GAR NICHT weiterkomme
> .. und zwar ist die aufgabestellung:
> " gegebn ist ein gleichschenkliges dreieck mit der
> hypothenuse c = 60 cm und den katheten a = b = 50 cm ;
Das sind dann keine Katheten usw., sondern einfach Seiten!
> Aus
> diesem Dreieck soll ein stück Holz ( rechteckig ) mit
> maximal flächer herausgeschnitten werden ; Berechne den
> Prozenanteil der Holzes, das als Abfall bleibt "
>
> so.. bin bisher soweit, dass ich mir mal die überlegungen
> gemacht habe, dass es ja was mit flächen zu tun haben muss
> .. also Adreieck = 1200cm² und d*e= Arechteck .. so nun
> habe ich jetzt einen hänger .. ich komm gar nicht weiter
> und kann mir keine formel denken die mir jetzt zur
> berechnung weiterhelfen könnte .. bräuchte ja erstmal die
> fläche des rechtecks, aber wie??
>
Vielleicht legst du dein Dreieck mal so in eine Koord.-System, daß die Höhe = Symmetrieachse die y-Achse wird. Dann kannst du (hoffentlich) mit Pythagoras die Gleichungen der Seiten aufstellen, und dann müßtest du einen Zusammenhang zwischen den Seitenlängen des Rechtecks finden, weil ja 2 Eckpunkte auf den Seiten liegen müssen.
Wenn dir das gelungen ist, kannst du diesen Zusammenhang in die Flächenformel einsetzen und hast dort nur noch eine Variable, und dann geht es mit der Ableitung weiter....
Irgendwie klarer geworden?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Di 13.09.2005 | | Autor: | knoetel |
hi!
ich habe das jetzt einmal gezeichnet .. also die formel für die flächen hab ich ja schon raus .. und ich glaube zu wissen, dass die fläche des rechtecks Are=d² ( d = seite des rechtecks ) ist .. das hab ich mit ableitungen und so rausbekommen .. also is ein quadrat am besten für die max. fläche geeignet .. so .. mein problem ist nur:
mir ist klar, dass das rechteck die seiten des dreickes berührt .. nur wo? ich muss das ja irgendwie mathematisch bestimmen können .. aber ich finde ja einfach keinen zusammenhang zwischen den versch. seiten .. und habe ja auch keine berührpunkte .. hänge da einfach ..
MFG
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Wenn Du den Winkel des gleichschenkligen Dreieckes bestimmst mit
[mm] \alpha [/mm] = arccos( c/2/a )
kannst du einen Zusammenhang zwischen einem Abschnitt der Seite c (nennen wir diesen x<c) und einem Teil der Seite a (nennen wir diesen y).
Damit gilt für die Rechteckfläche A(Rechteck)=x*y!
Daraus folgt dann: tan [mm] \alpha [/mm] = 2*y / (c-x)
Alternativ müsste auch der Strahlensatz anwendbar machen!
Am Besten mal ne Skizze machen!
Gruß Ingenius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 13.09.2005 | | Autor: | knoetel |
hi!
danke für deine idee, aber das mit disesem arccos sagt mir leider gar nichts .. und falls du da was mit cosinus meinst, das würde ja nur im rechtwinkligen dreieck gehn und ich hab ja keinen 90°winkel .. das ginge dann nur wenn ich ja den winkel teile ...
btw. ich adde mal link für ein bild des dreiecks ..
![[]](/images/popup.gif) [img=http://img388.imageshack.us/img388/5718/ha0zo.th.png]
man muss sich hier also nun ein quadrat reindenken, das natürlich max fläche für das rechteck bietet .. dann brauch ich zusammenhänge!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Di 13.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
das Ding ist kein Quadrat! Leg doch bitte mal deine Eckpunkte auf A = (-30|0), B = (30|0) und C = (0|40). Warum (0|40)? Und dann such die Gleichungen für die Seiten. Danach geht's weiter.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Di 13.09.2005 | | Autor: | knoetel |
also : A ( -30|0 ) B (30|0) C(0|40) 40, weil ich die höhe durch hc²=a²- (c/2)² habe .. also satz des pytagoras ..
so daraus kommt: a = b = WURZEL hc² + (c/2)² und c/2 = WURZEL a²- hc² -> c = 2* WURZEL a²- hc² .. so .. nur was jetzt? .. uind wieso meinst du, dass das rechteck kein quadrat ist? .. so hatte ich das aber irgendwie bestimmt ... weil ich ja ableitungen gebildet habe und lok. maximum bestimmt ??
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Di 13.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
die Geradengleichungen fehlen immer noch. Für die rechte Seite ist das
[mm] -\bruch{4}{3} [/mm] * x + 40, warum?
Wenn jetzt die untere Seite die Länge 2a hat und mittig liegt, wie groß ist dann b?
Bis dann
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Di 13.09.2005 | | Autor: | knoetel |
hi!
also ich weiss jetzt was du mit seitengleichung meinst :)
also f(x) = 4/3 * x + 40 für seite a und deine genannte für seite b ..
nur weiss ich jetzt leider noch nich so genau wie mir das helfen soll?
MfG
ps: und was du mit doppelt? und b meinsst versteh ich auch nich ..
sry .. steh voll aufm schlau :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Di 13.09.2005 | | Autor: | statler |
> hi!
>
> also ich weiss jetzt was du mit seitengleichung meinst :)
>
> also f(x) = 4/3 * x + 40 für seite a und deine genannte für
> seite b ..
Bei der rechten Seite ist die Steigung negativ, siehe meine Mitteilung.
Die untere Rechteck-Seite soll jetzt die Länge 2c haben, dann hat der rechte untere Eckpunkt den x-Wert c und die andere Seite hat die Länge f(c); die Fläche ist dann 2*c*f(c). Jetzt setz mal für f die Formel ein und nenne das c meinetwegen x. Die Rechteckfläche ist dann eine funktion von x.
Dieter
>
> nur weiss ich jetzt leider noch nich so genau wie mir das
> helfen soll?
>
> MfG
>
> ps: und was du mit doppelt? und b meinsst versteh ich auch
> nich ..
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> sry .. steh voll aufm schlau :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Di 13.09.2005 | | Autor: | knoetel |
hi!
tut mir leid, wenn ich dich so beanspruche, aber kannst du mir vll noch einmal das ganze einfach vorrechnen? werd aus dem lesen einfach nicht schlau .. werde dann mal deine gedanken versuchen nachzuvollziehen..
wär super nett .. also alles was du mit 2*x*c und so gemeint hast .. DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Di 13.09.2005 | | Autor: | statler |
Hi,
Wenn die untere Seite des R's 2c lang ist und der rechte Eckpkt. bei (c|0) liegt, dann liegt der rechte obere Eckpunkt bei (c|-(4/3)*c + 40) und der y-Wert ist die Seitenlänge. Die Fläche ist dann 2*c*(-(4/3)*c + 40), das ist eine quadratische Funktion von c.
Jetzt mußt du das ausrechnen und dann nach c ableiten (oder das c x nennen und dann nach x ableiten) und die Abl. = 0 setzen. Das ergibt c = 15 für das Maximum! Also hat das R-Eck die Seitenlängen 30 und 20, ist also kein Quadrat.
Nun klar???
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Di 13.09.2005 | | Autor: | knoetel |
AHHHHHH!
super DANKE!!
jetzt hab ich den gedanken so ziemlich verstanden :)
super danke danke danke .. dann lös ich mir das mal auf :)
MfG
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> hi!
> danke für deine idee, aber das mit disesem arccos sagt mir
> leider gar nichts .. und falls du da was mit cosinus meinst,
Der arccos() ist die Umkehrfunktion des cos()!
> das würde ja nur im rechtwinkligen dreieck gehn und
> ich hab ja keinen 90°winkel .. das ginge dann nur wenn ich
> ja den winkel teile ...
Was spricht dagegen Absolut richtig, entweder
- musst Du Strahlensätze anwenden
- das Dreieck teilen
- oder dir mit dem Pythagoras behelfen
Lass Dich mal auf eines dieser Wege ein!
Am Ende erhälst du dann:
Damit gilt für die Rechteckfläche A(Rechteck)=x*y!
Daraus folgt dann: tan [mm] \alpha [/mm] = 2*y / (c-x)
oder umgestellt y = (c-x) / 2 * tan [mm] \alpha [/mm]
Damit folgt für die Fläche: A(Rechteck)=x*(c-x) / 2 * tan [mm] \alpha
[/mm]
So und das darfst Du nun Ableiten.
Suche den Extrempunkt (Maximum) für A(Rechteck)!
So oder so ähnlich!
Gruß Ingenius!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Di 13.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Auf die Frage wurde hinreichend reagiert, so dass ich sie mittels dieser Mitteilung aus dem Fragenstatus entferne.
Viele Grüße
Julius
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![[]](http://img388.imageshack.us/my.php?image=ha0zo.png){kind=small}
[img=http://img388.imageshack.us/img388/5718/ha0zo.th.png]
