Extremwertaufgabe Blechdose < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallöchen,
Folgende Aufgabenstellung: Eine quaderförmige Blechdose mit dem gegebenem Rauminhalt V habe eine quadratische Grundfläche. Welche Abmessungen muss die Blechdose haben, damit der Blechverbrauch ohne Rücksicht auf Abfälle bei der Herrstellung minimal wird?
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Ich bin zu folgendem Ergebnis gekommen, mir aber sehr unsicher, ob es stimmt und da ich die Aufgabe wohl vorstellen muss hätte ich gerne etwas Gewissheit...
Also ich fang dann mal an :)
Hauptbedingung:
V=a*b*c
Nebenbedingungen:
a=b
[mm] O=2a^2+4ac [/mm] -> c= [mm] 0,25a*(O-2a^2)
[/mm]
V(a) [mm] =a^2*(0,25a*(O-2a)
[/mm]
<=> [mm] -0,5a^5+0,25a^3*O
[/mm]
V'(a)= [mm] -2,5a^4+0,75a^2*O
[/mm]
das ergibt dann a=0 -> kein Sinn
oder a= Wurzel aus (0,3*O)
Die 2. Ableitung [mm] V''(a)=-10a^3+1,5a*O
[/mm]
die muss null sein, da weder a noch O negativ sein können und das ist der Beweis für ein lok. Max.
Für c habe ich folgende Länge: c=0,25* Wurzel aus (0,3*O) Wurzel ende] *(-0,6-O)
Ist das wohl richtig, mir kommt das alles etwas spanisch vor.
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast die richtigen Ansätze aber einen Umformungsfehler:
aus $ [mm] O=2a^2+4ac [/mm] $ richtig
folgt nicht.! c= $ [mm] 0,25a\cdot{}(O-2a^2) [/mm] $
deshalb ist der Rest falsch.
Gruss leduart
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Ah, wie doof. Also folgt c= [mm] (O-2a^2/4a) [/mm] ???
und das ganze nochmal...
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Hallo, im Prinzip ja, aber die Klammern [mm] c=(O-2a^{2})/(4a) [/mm] Steffi
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Ah, aber wenn das oben geschriebene richtig sein sollte, wie bilde ich denn dann von [mm] (O*a^2-2a^4)/4a [/mm] die Ableitung? Sowas haben wir noch gar nicht gemacht...
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Hallo troublemaker92 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ah, aber wenn das oben geschriebene richtig sein sollte,
> wie bilde ich denn dann von [mm](O*a^2-2a^4)/4a[/mm] die Ableitung?
> Sowas haben wir noch gar nicht gemacht...
>
ausmultiplizieren: [mm]\bruch{(O*a^2-2a^4)}{4a}=\bruch{O*a^2}{4a}-\bruch{2a^4}{4a}=...[/mm]
Gruß informix
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mh, ja nur iwie komm ich nicht weiter, wir hatten noch keine produkt- oder Quotientientenregel und die 4a stehen im Nenner... kann ich das einfach ignorieren und nur den Zähler ableiten?
Lg
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Hallo, du hast einen prinzipiellen Denkfehler in deiner Aufgabe
Hauptbedingung: [mm] O(a,c)=2*a^{2}+4*a*c [/mm] der Blechverbrauch, sprich O ist zu minimieren
Nebenbedingung: [mm] V=a^{2}*c [/mm] somit [mm] c=\bruch{V}{a^{2}} [/mm] das Volumen V ist gegeben
[mm] O(a)=2*a^{2}+4*a*\bruch{V}{a^{2}}
[/mm]
[mm] O(a)=2*a^{2}+\bruch{4V}{a}
[/mm]
Steffi
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Ist die Ableitung davon also 4a+4V^-1 also dann 4a-4V ???
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Hallo,
[mm] 2*a^{2} [/mm] hast du korrekt abgeleitet 4a
[mm] \bruch{4*V}{a}=4*V*a^{-1} [/mm] benutze jetzt zum Ableiten die Potenzregel
Steffi
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Oh man, ich glaube ich bin ein hoffnungsloser fall... ist das dann 4V* (1/a) ???
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Hallo
[mm] 4*V*a^{-1}
[/mm]
die Ableitung
[mm] (-1)*4*V*a^{-2}=-\bruch{4*V}{a^{2}}
[/mm]
Steffi
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Mh, und die 2. Ableitung lautet dann [mm] 4+(4V/a^3) [/mm] wäre ja mal ein Erfolgserlebnis wenn das stimmt 
Zumindest ist es dann ein lok. Min. da die 2. Ableitung dann größer null wäre...
Lg
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Hallo
die 4 ist ok
jetzt leite ab [mm] -4*V*a^{-2} [/mm] den Exponent -2 ziehst du als Faktor vor, der neue Exponent verringert sich um 1
[mm] (-2)*(-4)*V*a^{-3}=8*V*a^{-3}
[/mm]
Steffi
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achso, ok... Danke für deine Hilfe :) Ich bin jetzt zu dem Schluss gekommen, dass alle Seiten die Abmessung 3 Wurzel aus V haben müssen. Dann werde ich mich jetzt mal an die Replikation der DNA und die Weimarer Klassik machen... Und morgen kommt die nächste Extremwertaufgabe
Lg
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Hallo, korrekt, somit hast du einen Würfel, und viel Erfolg bei den anderen Sachen, Steffi
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zu schnell abgeschickt... wollte eigentlich noch die Ableitung mit anhängen, und ich habs irgendwie noch nicht so mit dem editieren...
[mm] (O*a-8a^3)/4a [/mm] ??? dann wäre das ja einfach...
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