Extremwertaufgabe für A->max. < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Mi 10.11.2004 | | Autor: | loona |
Hallo!
Kniffle an einer Extremwertaufgabe, (bekomm immer von 1.Abl. y´=0) folgender weise:
Angabe:
Berechnen Sie jenen Basiswinkel [mm] \alpha [/mm] , für den ein gleichschenkeliges Dreieck mit dem Schenkel S den größten Flächeninhalt erhält.
So, und hier mein Versuch:
Mein Gedankengang war, dass ich in die Variable c (basis des dreiecks) in einer Nebenbedingung (Phytag. vom rechtw. Dreieck) beschreibe und dann in die Hauptbedingung (HB) einsetze. Danach die 1. Ableitung von der HB 0 setzten und das [mm] x_{m} [/mm] berechnen (=h).
Folgend die 2. Ableitung von HB bilden und überprüfen ob [mm] x_{m} [/mm] ein Maximum ist.
....
A->max.
Hauptbedingung (HB): A=hc/2
Nebenbedingung:
c/2= [mm] \wurzel{(s^{2}-h^{2})} [/mm]
HB: (* für multiplikation) A=h/2* [mm] \wurzel{(s^{2}-h^{2})} [/mm]
vereinfacht: A= [mm] h*2(s^{2}-h^{2})^{1/2} [/mm] /2
Quotientenregel: [mm] (u'v-uv')/v^{2}
[/mm]
[mm] u=2h(s^{2}-h^{2})^{(1/2)}
[/mm]
[mm] u'=2*(1/2)*-2h*(s^{2}-h^{2})^{(-1/2)} [/mm] =
[mm] =-2h*(s^{2}-h^{2})^{(-1/2)}
[/mm]
v=2
v'=0
[mm] A'=(u'v-uv')/v^{2}
[/mm]
[mm] A'=(-2h(s°{2}-h^{2})^{(-1/2)}*2)/4
[/mm]
gekürzt:
[mm] A'=-h(s^{2}-h^{2})^{(-1/2)}
[/mm]
Wenn ich dies weiterrechne, komm ich leider nicht auf die gewünschte form h=(s....)
Ich hock jetzt schon ne zeitlang hinter dem beispiel und ich fürchte ich habe es schon viel weiter oben verbockt, guck jetzt aber immer drüber... :-/
Darum bitt ich, ob mir wer bitte meinen Fehler aufdeckt.
MFG!
l [mm] \infty [/mm] na
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Do 11.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Loona,
> Hallo!
> Kniffle an einer Extremwertaufgabe, (bekomm immer von
> 1.Abl. y´=0) folgender weise:
>
> Angabe:
> Berechnen Sie jenen Basiswinkel [mm]\alpha[/mm] , für den ein
> gleichschenkeliges Dreieck mit dem Schenkel S den größten
> Flächeninhalt erhält.
>
> So, und hier mein Versuch:
>
> Mein Gedankengang war, dass ich in die Variable c (basis
> des dreiecks) in einer Nebenbedingung (Phytag. vom rechtw.
> Dreieck) beschreibe und dann in die Hauptbedingung (HB)
> einsetze. Danach die 1. Ableitung von der HB 0 setzten und
> das [mm]x_{m}[/mm] berechnen (=h).
> Folgend die 2. Ableitung von HB bilden und überprüfen ob
> [mm]x_{m}[/mm] ein Maximum ist.
> ....
>
> A->max.
> Hauptbedingung (HB): A=hc/2
>
> Nebenbedingung:
> c/2= [mm]\wurzel{(s^{2}-h^{2})}[/mm]
Bis hierhin alles ok.
> HB: (* für multiplikation) A=h/2* [mm]\wurzel{(s^{2}-h^{2})}[/mm]
> vereinfacht: A= [mm]h*2(s^{2}-h^{2})^{1/2}[/mm] /2
Hier hat sich der 1. kleine Fehler eingeschlichen: die 2 kürzt sich raus.
Es verbleibt also:
A= h*[mm]\wurzel{(s^{2}-h^{2})}[/mm]
Da es sich hierbei aber nicht um eine Quotient handelt, sondern ein Produkt ("h × Wurzel"), musst Du hier die Produktregel anwenden:
(u·v)' = u'·v + u·v'
Ich hoffe, so kommst Du nun weiter ...
In meiner Vegleichsrechnung habe ich durch die Beziehung sin [mm] \alpha [/mm] = h/s eine etwas andere Funktionsvorschrift erhalten. Ich erhalte hierbei auch gleich die gesuchte Größe [mm] \alpha.
[/mm]
Aber auch Dein Weg führt zum Ziel, Du musst halt erst am Ende aus dem h in [mm] \alpha [/mm] umrechnen.
Grüße Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Do 11.11.2004 | | Autor: | loona |
Herzlichen Dank!
Argh, es ärgert mich zu sehen, bei was für´n kleinkram es hapert...
Ich hatte es auch zuvor über den tangens probiert
tan /alpha = [mm] h/\wurzel{(s^{2}-h^{2})}
[/mm]
hab aber anschliessend probleme mit der ableitung gehabt (vielleicht wieder ein simples kürzungsproblem..).
Aber nochmals herzlichen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Loona,
bei meinem o.g. Lösungsansatz komme ich auf folgende Funktionsvorschrift.
[mm] A(\alpha) [/mm] = [mm] s^{2} \times cos(\alpha) \times sin(\alpha)
[/mm]
Ist nur als Idee/Anregung gedacht, um das eigene Ergebnis zu kontrollieren.
Welcher Weg letztendlich beschritten wird, bleibt jedem noch selbst überlassen ...
Grüße Loddar
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