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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Die Funktionsschar [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k(x) [/mm] = [mm] e^{kx} [/mm] , k>0 ist eine Schar von Wachstumsfunktionenen.
Bestimmen Sie alle Graphen von [mm] f_k [/mm] die Gleichunegn der Tangente t und der Normalen n in ihrem Schnittpunkt S mit der y-Achse.
Die Tangente t, die Normale n und die x-Achse begrenzen ein Dreieck. Ermitteln Sie, für welchen WErt k der Flächeninhalt dieses Dreiecks extremal wird und bestimmen Sie die Art des Extremums |
Hallo.
Eine schwierige Aufgabe, wo aber auch Kontrollergebnisse gegeben sind, zum Glück. Meine Ergebnisse stimmen auch damit überein, nur beim Flächeninhalt des Dreiecks kann ich überhaupt nicht folgen.
Braucht nicht korrigiert zu werden:
Die Tangentengleichung lautet g(x)=kx+1
Die Normalengleichung lautet h(x) = [mm] -\br{1}{k}+1
[/mm]
Natürlich brauchen wir auch die Schnittpunkte mit der X-Achse, die sind
[mm] n_1=-\br{1}{k}
[/mm]
[mm] n_2=k
[/mm]
Soweit so gut, ich hätte noch versucht, den Schnittpunkt der beiden Geraden zu berechnen, aber die Lösung zur Extremalaufgabe sagt folgendes:
Das Dreieck TNS hat den Flächeninhalt A = 0,5 [mm] (k+\br{1}{k}). [/mm] Für k=1 hat das Dreieck TNS den minimalen Flächeninhalt [mm] A_{min}=1
[/mm]
häääää?
wie kommt man jetzt auf die Formel A=0,5 [mm] (k+\br{1}{k})
[/mm]
[mm] k+\br{1}{k} [/mm] müsste ja die Höhe*Grundseite sein, ist mir aber nicht offensichtlich, warum das so ist.
Hat da jemand eine Erklärung?
Grüße Phoney
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Die Funktionsschar $ [mm] f_k [/mm] $ mit $ [mm] f_k(x) [/mm] $ = $ [mm] e^{kx} [/mm] $ , k>0 ist eine Schar von Wachstumsfunktionenen.
Die X-Achse, der Graph von [mm] f_k, [/mm] seine Tangente in S und die Gerade mit x=u begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche und seinen Grenzwert für u -> [mm] -\infty. [/mm] |
Hallo.
Hier habe ich eine Frage zum Ansatz, ob man das so machen kann, ich stelle die Tangentengleichung auf. (S war übrigens der Y-Achsenabschnitt). Aber ist ja auch egal, ich ermittel also die Tangentengleichung im Punkt S
k(x) = irgendetwas
Der Berührpunkt ist im Punkt S, die x-Koordinate ist die erste Integralgrenze, in diesem Fall wäre das bei x=0 die zweite ist x=u
Und nun berechne ich
[mm] \integral_{u}^{0}{f_k(x)-k(x) dx}
[/mm]
Geht das?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Mo 03.04.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
> Der Berührpunkt ist im Punkt S, die x-Koordinate ist die
> erste Integralgrenze, in diesem Fall wäre das bei x=0 die
> zweite ist x=u
>
> Und nun berechne ich
>
> [mm]\integral_{u}^{0}{f_k(x)-k(x) dx}[/mm]
>
> Geht das?
Das geht nicht, denn indem du die Gerade von der Exponenetialfunktion abziehst,
verändert sich die Gestallt von dem Graphen gewaltig.
Mach doch mal eine Zeichunung der e-Fkt für z.B k=1 und dann zeichne die Tangente ein.
Noch ein Tipp betrachte die Flächen die von e-Fkt und der Tangenten mit der x und y-Achse im
2. Quadranten eingeschlossen wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Johann,
> Braucht nicht korrigiert zu werden:
>
> Die Tangentengleichung lautet g(x)=kx+1
> Die Normalengleichung lautet h(x) = [mm]-\br{1}{k}+1[/mm]
ich denke mal, du meinst [mm]h(x)=-\br{1}{k}\red{x}+1[/mm]. 
>
> Natürlich brauchen wir auch die Schnittpunkte mit der
> X-Achse, die sind
>
> [mm]n_1=-\br{1}{k}[/mm]
> [mm]n_2=k[/mm]
>
> Soweit so gut, ich hätte noch versucht, den Schnittpunkt
> der beiden Geraden zu berechnen,
Wieso denn? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Beide Graphen sind doch gerade so bestimmt, dass sie durch den Punkt S laufen!
> aber die Lösung zur
> Extremalaufgabe sagt folgendes:
>
> Das Dreieck TNS hat den Flächeninhalt A = 0,5
> [mm](k+\br{1}{k}).[/mm] Für k=1 hat das Dreieck TNS den minimalen
> Flächeninhalt [mm]A_{min}=1[/mm]
>
> häääää?
> wie kommt man jetzt auf die Formel A=0,5 [mm](k+\br{1}{k})[/mm]
>
> [mm]k+\br{1}{k}[/mm] müsste ja die Höhe*Grundseite sein, ist mir
> aber nicht offensichtlich, warum das so ist.
Was ist denn die Höhe des Dreiecks? Der Abstand des Punktes S zur x-Achse. (Zeichnen!) Und der ist ja gerade 1 ([mm]=f_k(0)[/mm]). Die Grundseite ist ja gerade [mm]k-(-\bruch{1}{k})[/mm].
Klar?
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Astrid.
> > Braucht nicht korrigiert zu werden:
> >
> > Die Tangentengleichung lautet g(x)=kx+1
> > Die Normalengleichung lautet h(x) = [mm]-\br{1}{k}+1[/mm]
>
> ich denke mal, du meinst [mm]h(x)=-\br{1}{k}\red{x}+1[/mm].
>
> >
> > Natürlich brauchen wir auch die Schnittpunkte mit der
> > X-Achse, die sind
> >
> > [mm]n_1=-\br{1}{k}[/mm]
> > [mm]n_2=k[/mm]
> >
> > Soweit so gut, ich hätte noch versucht, den Schnittpunkt
> > der beiden Geraden zu berechnen,
>
>
> Wieso denn? Beide Graphen sind doch gerade so
> bestimmt, dass sie durch den Punkt S laufen!
Weil die die Grundseite bilden?
>
> > aber die Lösung zur
> > Extremalaufgabe sagt folgendes:
> >
> > Das Dreieck TNS hat den Flächeninhalt A = 0,5
> > [mm](k+\br{1}{k}).[/mm] Für k=1 hat das Dreieck TNS den minimalen
> > Flächeninhalt [mm]A_{min}=1[/mm]
> >
> > häääää?
> > wie kommt man jetzt auf die Formel A=0,5 [mm](k+\br{1}{k})[/mm]
> >
> > [mm]k+\br{1}{k}[/mm] müsste ja die Höhe*Grundseite sein, ist mir
> > aber nicht offensichtlich, warum das so ist.
>
> Was ist denn die Höhe des Dreiecks? Der Abstand des Punktes
> S zur x-Achse. (Zeichnen!) Und der ist ja gerade 1
> ([mm]=f_k(0)[/mm]). Die Grundseite ist ja gerade [mm]k-(-\bruch{1}{k})[/mm].
>
> Klar?
Ja, jetzt schon, vielen Dank!
Gruß
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