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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Di 13.06.2006 | | Autor: | JeremY |
| Aufgabe | Ein oben offener Zylinder soll so hergestellt werden, dass er bei gegeben Volumen (V=2L) eine möglichst kleine Oberfläche besitzt (Materialverbrauch).
a) Wie groß sind der Radius r der Grundfläche (Boden) und die Höhe h des Zylinders zu wählen?
b) Wieviel Material benötigt man, um einen Zylinder der obigen Form (V=2L) herzustellen? |
Kann mir jemand weiterhelfen, wäre sehr nett...
Mfg JeremY
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Di 13.06.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo erst einmal.
> Ein oben offener Zylinder soll so hergestellt werden, dass
> er bei gegeben Volumen (V=2L) eine möglichst kleine
> Oberfläche besitzt (Materialverbrauch).
> a) Wie groß sind der Radius r der Grundfläche (Boden) und
> die Höhe h des Zylinders zu wählen?
> b) Wieviel Material benötigt man, um einen Zylinder der
> obigen Form (V=2L) herzustellen?
> Kann mir jemand weiterhelfen, wäre sehr nett...
a) HB/Zielfunktion: $O(r,h) [mm] =\pi r^2+2\pi [/mm] rh$
Nebenbedingung: [mm] $V=\pi r^2*h$ \Rightarrow $2=\pi r^2*h$
[/mm]
Und nun die Prozedur für alle klassichen Extremwertaufgaben. Nebenbedingung nach irgendetwas umstellen und in die Zielfunktion umstellen, diese ableiten sowie deren Minimum bestimmen.
b)$O(r,h) [mm] =\pi r^2+2\pi [/mm] rh$
Hier setzt du deine Werte dann ein.
> Mfg JeremY
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
MfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Di 13.06.2006 | | Autor: | JeremY |
Hallo zurück;)
ich hab jetzt die Nebenbedingung nach
[mm] h=2/pi*r^2 [/mm] umgestellt
dann in die Zielfunktion eingesetzt:
[mm] O(r)=pi*r^2+2*pi*r*(2/pi*r^2)
[/mm]
nur jetzt komm ich nicht weiter
könntest du mir evtl nochmal helfen???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Di 13.06.2006 | | Autor: | JeremY |
Tut mir echt leid jungs, dass ich eure Zeit nochmals in Anspsruch nehmen muss, wenn das in Ordnung geht....
Also meine Ableitungen lauten folgendermaßen:
O'(r)=2r-4r^-2
O''(r)=2+8r^-3
Dann hab ich O'(r) gleich Null gesetzt aber irgendwie kommt da r=1,26 raus und das kann schlecht sein weil dann kleiner wäre...
Sry, aber ich verstehe diesen Formeleditor nicht bzw. finde ich ihn nicht....
Mfg JeremY
Dank im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 13.06.2006 | | Autor: | Arkus |
Hallöle :)
> immer noch zu a)
> Tut mir echt leid jungs, dass ich eure Zeit nochmals in
> Anspsruch nehmen muss, wenn das in Ordnung geht....
>
> Also meine Ableitungen lauten folgendermaßen:
>
> O'(r)=2r-4r^-2
> O''(r)=2+8r^-3
Die sind leider falsch, denn dein PI im ersten Summanden verschwindet nicht (siehe Konstantenregel).
Sie muss damit korrekt lauten:
$O'(r)=2 [mm] \pi [/mm] r -4 [mm] r^{-2} [/mm] $
>
> Dann hab ich O'(r) gleich Null gesetzt aber irgendwie kommt
> da r=1,26 raus und das kann schlecht sein weil dann kleiner
> wäre...
>
> Sry, aber ich verstehe diesen Formeleditor nicht bzw. finde
> ich ihn nicht....
Der Formeleditor funzt so, dass du deine Formeln zwischen 2 Dollarzeichen setzt (kein Zeilenumbruch!). Die Befehle für die ganzen Zeichen findest du weiter unten, wenn du eine Frage stellst. Am besten du schaust einfach mal hier:
https://matheraum.de/mm
>
> Mfg JeremY
>
> Dank im voraus
MfG Arkus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Di 13.06.2006 | | Autor: | JeremY |
mhh okay, aber jetzt steck ich schon wieder fest und zwar wie stell ich die erste ableitung, nachdem ich sie null gesetzt habe, nach "r" um...bekomm ich nicht hin...:(
mfg JeremY
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Di 13.06.2006 | | Autor: | Arkus |
> mhh okay, aber jetzt steck ich schon wieder fest und zwar
> wie stell ich die erste ableitung, nachdem ich sie null
> gesetzt habe, nach "r" um...bekomm ich nicht hin...:(
>
> mfg JeremY
Sie lautet ja
$0=2 [mm] \pi r-4r^{-2}$
[/mm]
Das schreiben wir wieder um zu
$0=2 [mm] \pi r-\frac{4}{r^2}$
[/mm]
und nun ist der Trick die gesamte Gleichung mit [mm] r^2 [/mm] zu multiplizieren:
$0=2 [mm] \pi [/mm] r [mm] \cdot r^2-\frac{4}{r^2}\cdot r^2$
[/mm]
Jetzt kürzt sich schön was raus, wenden noch schwupps die Potenzregel an und erhalten:
$0=2 [mm] \pi r^3-4$
[/mm]
Das stellen wir um zu:
[mm] r=\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}
[/mm]
MfG Arkus
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Obwohl man in diesem Fall natürlich um das pi und das [mm] r^2 [/mm] im letzteren Term eine Klammer setzen muss, damit auch klar ist, was im Nenner steht!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
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