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Extremwertaufgaben: Extremwertaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Mo 08.02.2010
Autor: diamOnd24

Aufgabe
Eine Drehkugel mit dem Radius r= 6cm und der Höhe h = 12 cm ist der volumsgrößte Drehzylinder wie in der Zeichnung einzuschreiben. Wie groß ist das Volumen dieses Zylinders ?

Also die Hauptbedinung ist natürlich wie immer klar.
HP : V= [mm] r^2*\pi [/mm] * h
_> soll natürlich in diesem fall das maximum ergeben !

bei der nebenbedinung sitz ich auf der leitung !
brauch ich da das volumen des drehzylinders. oder muss man das ganz anders lösen ?

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Mo 08.02.2010
Autor: Steffi21

Hallo, "Drehkugel" habe ich noch nie gehört, du meinst einen Kreiskegel, dem ein Kreiszylinder einbeschrieben ist, für den einbeschriebenen Kreiszylinder gilt:

[mm] V(r,h)=\pi*r^{2}*h [/mm] deine Hauptbedingung

für die Nebenbedingung benötigst du den Strahlensatz, gehe von der Spitze des Kreiszylinders aus:

[mm] \bruch{12cm}{6cm}=\bruch{...}{...} [/mm]

Steffi




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Bezug
Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Mo 08.02.2010
Autor: diamOnd24

sry für den schreibfehler !
ja hauptbedienung hab ich eh schon gschrieben .
ja strahlensatz war eh meine vermutung, aber hab ich nicht geschrieben.
Also
12 : 16 = r: h
oder nicht ?

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Bezug
Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mo 08.02.2010
Autor: Steffi21

Hallo,

[mm] \bruch{12cm}{6cm}=\bruch{12cm-h}{r} [/mm]

Steffi

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 Mo 08.02.2010
Autor: diamOnd24

aso ok sry.
also hab jetzt so weiter gemacht.
[mm] \bruch{12}{6} [/mm] = [mm] \bruch{12-h}{r=} [/mm]
also h = -2r + 12

stimmt das oder ?
danach hab ich eingesetz

V(r) = [mm] \pi *r^2 [/mm] * ( -2r + 12)

multipiziert man jetzt dass [mm] r^2 [/mm] hinein oder nicht ?

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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Mo 08.02.2010
Autor: M.Rex

Hallo

> aso ok sry.
>  also hab jetzt so weiter gemacht.
>  [mm]\bruch{12}{6}[/mm] = [mm]\bruch{12-h}{r=}[/mm]
>  also h = -2r + 12

[daumenhoch]

>  
> stimmt das oder ?
>  danach hab ich eingesetz
>  
> V(r) = [mm]\pi *r^2[/mm] * ( -2r + 12)
>  
> multipiziert man jetzt dass [mm]r^2[/mm] hinein oder nicht ?

Es macht Sinn, da man sich die Ableitung vereinfacht, wenn man es ausmultipliziert, also:

[mm] V(r)=\pi*r^2*(-2r+12) [/mm]
[mm] =-2\pi*r^{3}+12r [/mm]

Marius

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mo 08.02.2010
Autor: diamOnd24

ok. mir ist gerade aufgefallen auf r umzuformen wäre schneller gewesen aber jetzt egal.
also
V(r) = [mm] -2\pi [/mm] * [mm] r^3 [/mm] + 12r

also 1. frage. kann man hier jetzt die erste ableitung daraus machen oder nicht. falls ja. [mm] \pi [/mm] ist konstanst , also bleibt -2 davor stehen oder.

2. oder geht es jetzt ganz anders weiter ?
sry.

Bezug
                                                        
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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Mo 08.02.2010
Autor: M.Rex

Hallo

> ok. mir ist gerade aufgefallen auf r umzuformen wäre
> schneller gewesen aber jetzt egal.

Das wäre aber durch das Quadrat schwerer geworden.

>  also
>  V(r) = [mm]-2\pi[/mm] * [mm]r^3[/mm] + 12r
>  
> also 1. frage. kann man hier jetzt die erste ableitung
> daraus machen oder nicht. falls ja. [mm]\pi[/mm] ist konstanst ,
> also bleibt -2 davor stehen oder.

Nein, [mm] 2\pi [/mm] bleibt als konstanter Faktor stehen, also [mm] V'(r)=-6\red{\pi}r^{2}+12 [/mm]

>  
> 2. oder geht es jetzt ganz anders weiter ?
>  sry.

Marius

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Mo 08.02.2010
Autor: diamOnd24

aso ok. dann hab ich es doch richtig gemacht. wengistens etwas ;)
ok dass ist die erste ableitung.
was ich jetzt nicht verstehe wie ich auf das volumen komme
soll man dass jetzt null setzen oder ?
weil eigentlich ist dass ja immer so, aber mein ''problem'' ist dass. die lösung 64 [mm] \pi [/mm] ist und bei mir ist immer noch das r dabei.:(

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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mo 08.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> aso ok. dann hab ich es doch richtig gemacht. wengistens
> etwas ;)
>  ok dass ist die erste ableitung.
>  was ich jetzt nicht verstehe wie ich auf das volumen
> komme
>  soll man dass jetzt null setzen oder ?
>  weil eigentlich ist dass ja immer so, aber mein
> ''problem'' ist dass. die lösung 64 [mm]\pi[/mm] ist und bei mir
> ist immer noch das r dabei.:(

ihr habt ein bisschen falsch ausmultipliziert, daher das Ungemach:

Es war (und ist) ;-)

[mm] $V(r)=\pi\cdot{}r^2\cdot{}(-2\cdot{}r+12)=-2\pi r^3+12\red{\pi}r^2$ [/mm]

Also [mm] $V'(r)=-6\pi r^2+24\red{\pi}r$ [/mm]

Wenn du das $=0$ setzt, bekommst du $r=0$ oder $r=4$

Rechne das nach!

Ersteres ist Unfug, also $r=4$

Prüfe mit der 2.Ableitung nach, ob da wirklich ein Maximum vorliegt!

Dann schnell $r=4$ in $V(r)$ eingesetzt, und es liefert die gewünschte Lösung ...


Gruß

schachuzipus


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Extremwertaufgaben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:01 Mo 08.02.2010
Autor: diamOnd24

ViELEN DANK
für die super erklärung.
hab jetzt alles nach gerechnet und es stimt perfekt !
dass mit dem ausmultiplizieren fällt mir einfach sau schwer :(

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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Mo 08.02.2010
Autor: diamOnd24

ps.
kann es sein dass hier KEIN maximum vorliegt
weil bei mir :

V''(r) = [mm] -12\pi*r [/mm] + [mm] 24\pi [/mm] = 0
r= 2 ?
das heißt doch minimum oder?

Bezug
                                                                                        
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Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Mo 08.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ps.
>  kann es sein dass hier KEIN maximum vorliegt
>  weil bei mir :
>  
> V''(r) = [mm]-12\pi*r[/mm] + [mm]24\pi[/mm] = 0

Willst du Wendepunkte berechnen?

>  r= 2 ?
>  das heißt doch minimum oder?

Nix da, was setzt du denn da für'n Murks ein?

Du hast doch mit $V'(r)=0$ den Kandidaten [mm] $\red{r=4}$ [/mm] berechnet, also musst du noch zeigen, dass [mm] $V''(\red{4})<0$ [/mm] ist.

Das ist der Fall, oder?

LG

schachuzipus


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Extremwertaufgaben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:14 Mo 08.02.2010
Autor: diamOnd24

OH :( tut mir leid
hab ich vergessen
kenn mich schon aus
SORRY.DANKE

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