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Hallo, habe folgende Aufgabe.
In die kegelförmige Spitze eines Kreisrunden Turms (die Spitze ist 8 m hoch) mit einem Durchmesser 10m soll ein zylindrischer Wasserbehälter eingebaut werden.
Wie sind die Maße dieses Behälters zu wählen, damit er möglichst viel Wasser aufnehmen kann?
Ich hab kein Plan wie ich anfangen soll, kann mir jemand helfen????
Brauche das ganze bis Montag.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Sa 12.02.2005 | | Autor: | cologne |
hallo alexander,
wenn du das problem nicht dreidimensional betrachtest, sondern nur zweidimensional bekommst du auch die lösung und es geht einfacher. also stell dir vor, du machst einen schnitt durch den kegel.
viele grüße gerd
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Hi Gerd, erstmal danke das du mir hilfst.
Ich habe schon versucht es als dreieck mit rechteck drin zu sehen. meine Zielfunktion ist ja
A=x*y aber die Nebenbedingung da nehm ich doch 0,5*g*h für die dreiecksfläche.
Nur wie komm ich dann auf die Maße des rechtecks ich hab da grad voll den hänger.
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ja hatte ich schon aber ich glaub ich hab da was verrafft *gg*
f(x)=-5/8x+8 hab ich als lineare funktion aber wenn ich dann mit der zielfunktion A=x*y weiter arbeite hab ich ja A=-5/8x²+8x da ich ja f(x)=y sagen kann und des setzte ich ein und da ich ja den extremwert brauche mache ich die erste ableitung aber dann komm ich auf -6,4 =x den Wert setz ich ja dann ein um auf y zu kommen und da hab ich 12 für dann den doppelten xwert sprich 12,8 und hab dann ne Fläche von 153,6 aber für des dreieck hab ich doch nur 40 als fläche. Naja also ich bin seit heute mittag um 2 dran und zweifel grad an meinen 15Punkten in Mathe *gg*
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Hallo Silent-Hunter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
schau dir mal diese Zeichnung an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
die hellblaue Fläche symbolisiert doch genau den Wasserbehälter.
Und du erkennst, dass sein Volumen nur vom Punkt P auf der roten Geraden abhängt.
Hast du schon die Gleichung dieser Geraden g aufgestellt?
Dann ergibt sich das Volumen V als das Zylindervolumen mit dem Radius [mm] x_P [/mm] und der Höhe [mm] y_P [/mm] .
So jetzt müsstest du aber weiter kommen, oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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erstmal danke das du mir hilfst.
Genau die hellblaue Fläche ist die hälfte von dem Wasserbehälter.
Also ich hab als Zielfunktion V=1/4y²*pi*x und die funktion der graden g f(x)=-5/8x+8 so wenn ich das jetzt einsetze hab ich ja V=1/4*(-5/8x+8)²*pi*x
Ich hoffe mal das ich bisher soweit richtig bin.
aber dann komm ich für x auf -514,71... und da kann doch schon was nicht so ganz hinhauen oder????
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> Genau die hellblaue Fläche ist die hälfte von dem
> Wasserbehälter. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
wie kommst du denn darauf? Je nachdem, wo der Punkt auf der Geraden liegt, ändert sich doch das Volumen des Behälters!
Stell dir vor, die ganze Zeichnung dreht sich um die y-Achse:
Die Gerade beschreibt dann den Kegel und das Rechteck den zylindrischen Wasserbehälter.
Zylinder-Volumen: $V = [mm] \pi r^2 [/mm] h = [mm] \pi* x_P^2 [/mm] * [mm] y_P$
[/mm]
dabei ist [mm] $y_P [/mm] = [mm] g(x_P) [/mm] = [mm] -\bruch{8}{5}x_P [/mm] + 8$
> Also ich hab als Zielfunktion V=1/4y²*pi*x und die funktion
> der graden g f(x)=-5/8x+8 so wenn ich das jetzt einsetze
> hab ich ja V=1/4*(-5/8x+8)²*pi*x
>
> Ich hoffe mal das ich bisher soweit richtig bin.
>
> aber dann komm ich für x auf -514,71... und da kann doch
> schon was nicht so ganz hinhauen oder????
rechne jetzt mal mit meinen Formeln weiter und zeig uns deinen Lösungsweg mit Ergebnis.
Viel Erfolg!
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V=-5,03x³+25,13x²
davon dann die erste ableitung gemacht und ich bekomm für x 10/3 raus.
also bei x²-10/3x kommt für x einmal 0 und einmal die 10/3 raus aber in der 2ten Ableitung seh ich ja welchen x-wert ich brauche um ein max. zu bekommen.
und dann wäre y 8/3 und das Volumen des Zylinders ist somit dann 93,08.
Ich hoffe das es jetzt richtig ist sonst glaub ich beiß ich in mein Buch rein.
Ich hoffe mal das es richtig ist und sage schon jetzt danke.
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> V=-5,03x³+25,13x²
> davon dann die erste ableitung gemacht und ich bekomm für
> x 10/3 raus.
> also bei x²-10/3x kommt für x einmal 0 und einmal die 10/3
> raus aber in der 2ten Ableitung seh ich ja welchen x-wert
> ich brauche um ein max. zu bekommen.
>
> und dann wäre y 8/3 und das Volumen des Zylinders ist somit
> dann 93,08. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Ich hoffe das es jetzt richtig ist sonst glaub ich beiß ich
> in mein Buch rein.
nicht beißen - alles ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Ich hab jetzt folgendes gemacht.
Ich hab 2dimensional die funktion A=x+y und ne funktion f(x)=-5/8x+8
dann setzte ich f(x) für y ein. A=-5/8x²+8x mache die ableitung =-5/4x+8 und so komme ich für x auf -6,4.
dann setzte ich die -6,4 in f(x) ein -5/8*(-6,4)+8 und das is ja 12 und das kann schonmal nicht sein da die höhe vom Kegel ja nur 8 ist. und wenn ich die -6,4 für den radius nehm wirds ein negatives Volumen und das geht nicht und mit +6,4 isses Volumen dann 241,27 aber der Kegel hat nur 209,44.
was mach ich nur falsch bei der mistaufgabe????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alexander!
> Ich hab 2dimensional die funktion A=x+y und ne funktion
> f(x)=-5/8x+8
1. $A(x,y) \ = \ x \ [mm] \red{×} [/mm] \ y$ War bestimmt nur'n Tippfehler ...
2. $f(x) \ = \ - [mm] \red{\bruch{8}{5}}*x [/mm] + 8 \ = \ 8 - 1,6x \ = \ y$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A(x) \ = \ x * (8-1,6x) \ = \ 8x - [mm] 1,6x^2$
[/mm]
Siehst Du nun klar(er) ??
Loddar
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Ähm ja das warn Tippfehler sorry *gg*
Ich hab eben auch gesehen das ich den Bruch verdreht hatte *an die Stirn klopf*
Also für x hab ich jetzt -2,5 und für y hab ich 12 raus.(schon wieder) und da ich dann von x den doppelten wert brauche um den ganzen behälter zu berechnen hab ich dann ne Fläche von 60. Stimmt das denn nun????
Is eh ein bissel verwirrend ich versuche des 2 und 3 dimensional zu machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
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> Also für x hab ich jetzt -2,5 und für y hab ich 12
> raus.(schon wieder) und da ich dann von x den doppelten
> wert brauche um den ganzen behälter zu berechnen hab ich
> dann ne Fläche von 60. Stimmt das denn nun????
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Ich verstehe nicht, wie Du auf [mm] $\red{-} [/mm] 2,5$ kommst ...
$A(x) \ = \ 8x - [mm] 1,6x^2$
[/mm]
$A'(x) \ = \ 8 - 2*1,6*x \ = \ 8 - 3,2x$
$A''(x) \ = \ -3,2 \ < \ 0 \ \ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $A'(x_E) [/mm] \ = \ 0 \ = \ 8 - [mm] 3,2*x_E$ $\gdw$ $x_E [/mm] \ = \ [mm] \red{+}2,5$
[/mm]
[mm] $y_E [/mm] \ = \ 8 - 1,6 * [mm] x_E [/mm] \ = \ 8 - 1,6*2,5 \ = \ 4$
[mm] $A_{max} [/mm] \ = \ [mm] x_E [/mm] * [mm] y_E [/mm] \ = \ 2,5 * 4 \ = \ 10 \ [mm] m^2$
[/mm]
(Fläche des Rechteckes im 1. Quadranten)
[mm] $V_{Zylinder} [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * h$
[mm] $V_{max} [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] x_E^2 [/mm] * [mm] y_E [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] 2,5^2 [/mm] * 4 \ [mm] \approx [/mm] \ 78,5 \ [mm] m^3$
[/mm]
(Volumen des gesuchten Wasserbehälters)
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Loddar
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ich schlag mal ne runde meine Brine an die Wand.
Ich hatte das dumme vorzeichen vergessen deshalb die -2,5
oh man ich könnte mich beißen.
Mein prob is jetzt nur noch wenn ich das komplett 3 dimensional betrachte dann hab ich ja V= [mm] \pi*x²*(-8/5x+8)
[/mm]
und da komm ich für x auf 10/3 bei V=-15,08x²+50,27x
wo liegt denn da mein fehler?? Da hab ich für y dann 8/3 und ein Volumen von 93,08
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> ich schlag mal ne runde meine Brine an die Wand.
> Ich hatte das dumme vorzeichen vergessen deshalb die
> -2,5
>
> oh man ich könnte mich beißen.
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> Mein prob is jetzt nur noch wenn ich das komplett 3
> dimensional betrachte dann hab ich ja
$ V= [mm] \pi*x^2*(- \bruch{8}{5}x+8)$ [/mm]
>
> und da komm ich für x auf 10/3 bei V=-15,08x²+50,27x
$x = [mm] \bruch{10}{3} [/mm] $
$ y = - [mm] \bruch{8}{5} [/mm] * [mm] \bruch{10}{3} [/mm] +8 = [mm] \bruch{8}{3} [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] $V = [mm] \pi [/mm] * [mm] (\bruch{10}{3})^2 [/mm] * [mm] \bruch{8}{3} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{800}{27}$
[/mm]
> wo liegt denn da mein fehler?? Da hab ich für y dann 8/3
> und ein Volumen von 93,08
Warum meinst du denn, dass das falsch sein sollte?
Bis auf die Tatsache, dass ich lieber mit Brüchen als mit gerundeten Zahlen rechne, ist alles nun ok. ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
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Männers ich danke allen die mir hier geholfen haben und wenn ich mich ein bissel besser Konzentriert hätte wärs wohl auch nicht sone schwere Geburt geworden mir des klar zu machen *gg*
Naja ich danke euch nochmal.
Ciaoi
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